66. Дифференциальные уравнения, основные понятия.

Определение 1. Уравнение вида , где х-независимая переменная, у - искомая функция, у’- её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение 3. Общим решением уравнения в некоторой областиG плоскости Oxy называется функция , зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравненияпри любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях у=у₀, х=х₀ таких, что , существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Определение 4. Частным решением уравнения в областиG называется функция , которая получается из общего решенияпри определённом значении постоянной С=С₀.

67. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 5. Уравнения вида , где f₁(x) и f₂(y) – непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

68. Линейные уравнения первого порядка.

Определение 6. Уравнение вида , где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y и её производная y’ входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если , то уравнениеназывается линейным однородным уравнением. Если, то уравнениеназывается линейным неоднородным уравнением.

69. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.

Определение 1. Уравнение вида где х – независимая переменная, у – искомая функция, у’ иy’’ – ее производные, называются дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение 2. Уравнение вида , где у - искомая функция, аp и q - вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 3. Уравнение вида , гдеp и q - вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.