§9. Теорема Чебышева

Решение задачи Чебышева:

Определить:

минимизирующий многочлен P_n(x,A), если он существует.

Теорема: Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы

т.е. P_n(x,A)=P_n(x,A*).

Доказательство

Не ограничивая общности будем считать, что

Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –P_n(x,A*).

Перепишем систему следующим образом:

.

Воспользуемся свойствами чисел α_k:

При этом:

.

Однако μ>h, т.к. иначе получимh<h. Значит, μ=h. И для всякогоkмаксимум разницы междуP_n(x) иf(x) не может быть меньше.

Далее нетрудно доказать, что многочлены P_n(x,A^*) иP_n(x,A⁰) равны.

Что и требовалось доказать.

Замечание Можно рассмотреть континуальный аналог задачи Чебышева. Необходимо найти дляи минимизирующий многочленP_n(x,A⁰), если он существует.

Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.

§10. Многочлены Чебышева

Постановка задачи:

Для многочленов P_n(x,A) степениncoстаршим коэффициентом, равным 1, требуется определить дляи минимизирующий многочленP_n(x,A_min), если это возможно.

Таким образом, рассматривается задача о многочленах со старшим коэффициентом, равным 1, наименее отклоняющихся от нуля.

Рассмотрим многочлены Чебышева:

ТеоремаT_n(x) – многочлены степениnсо старшим коэффициентом, равным 1, методом математической индукции.

Доказательство

При n=1:

- многочлен 1ой степени.

При n=2:

Пусть утверждение верно . Докажем дляn=k.

Заметим, чтоT_k-1(x) – многочлен степениk-1 по предположению,T_k-2(x) – многочлен степени (k-2). Таким образом,T_k(x) – многочлен степениkсо старшим коэффициентом, равным 1.

Что и требовалось доказать.

Теорема (свойство четности) Все многочленыT_2n(x) являются четными функциями, аT_2n+1(x) – нечетными.

Доказательство

При n= 0:T₀=1 – четная функция;T₁=x– нечетная.

Пусть утверждение верно . Докажем его справедливость дляn=k.

Заметим, что из предположения T_2k-1– нечетная функция,T_2k-2– четная.

Тогда - четная функция,

а- нечетная.

Что и требовалось доказать.

Нули многочленов Чебышева

Заметим, что:

.

Обозначим .

Тогда .

Т.к. .

- нули многочлена ЧебышеваT_n(x) на [-1;1].

При этом других нулей нет (т.к. многочленnой степени имеет не болееnнулей).

Экстремумы.

Рассмотрим локальные экстремумы Т_n(x) на [-1;1].

Т.к. то точками экстремума для Т_n(х) на [-1;1] будут точки, где

Следовательно, cos(n·arccosx) = ±1

n·arccosx=πk,

Обозначим где

Отсюда, .

Т.к. .

- экстреальные точки дляT_n(x) на [-1;1].

Ортогональность с весом

Функции f(x) иg(x) ортогональны на [a;b] с весом ρ(x), если(ортогональность в смысле Гильбертова пространстваL₂[a;b]).

Доказательство

Обозначим

Что и требовалось доказать.

Лемма

T_n(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. еслиP_n(x) – многочлен степениnсо старшим коэффициентом равным единице, то:

Доказательство

Предположим противное:

.

Обозначим как Q_n(x) =T_n(x)-P_n(x).

Заметим, что многочлен Q_n(x):

1)имеет (n-1) степень

2), т.к. из предположения .

Таким образом, получено, что между каждыми двумя точками многочленQ_n(x) меняет свой знак. Т.е. многочленQ_n(x), отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках) имеетnнулей, а значитQ_n(x)≡0.

Противоречие доказывает требуемое.