- •Предмет и задачи атомной физики, её место среди других физических наук.
- •Сериальные закономерности в атомных спектрах, комбинационный принцип Ритца, термы.
- •Класическая модель атома Томсана.
- •Основы классической теории электромагнитного излучения.
- •Опыты Резерфорда.
- •Вывод формулы Резерфорда для рассеяния α-частиц.
- •Следствия из опытов Резерфорда.
- •Экспериментальное определение заряда ядра по методу Чедвика.
- •Планетарная модель атома Резерфорда.
- •Столкновение частиц
- •Сечение рассеяния
- •Теория Бора для атома водорода, круговые орбиты.
- •Доказательство существования дискретной структуры энергетических уровней атомов.
- •Опыты Франка и Герца
- •Изотопический сдвиг
- •Ридберговские системы
- •Корпускулярно волновой дуализм
- •Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение на примере дифракции электронов, атомов, нейтронов
- •Фазовая и групповая скорости волн де Бройля.
- •Волновой пакет. Статистический характер связи корпускулярных и волновых свойств.
- •Электронный микроскоп, понятие об электронной оптике.
- •Основы квантовой механики.
- •Соотношение неопределённостей.
- •Волновая функция.
- •Принцип суперпозиции.
- •Уравнение Клейна-Гордона.
- •Нестационарное и стационарное уравнение Шрёдингера.
- •Частица в потенциальном ящике.
- •Спектры атомов щелочных металлов.
- •Серии в спектрах щелочных металлов и их происхождение.
- •Закон Мозли
- •Тонкая структура Спектральных линий атомов щелочных металлов.
- •Спин Электрона
- •Принцип Паули и заполнение электронных оболочек атомов
- •Физические основы периодической системы элементов таблицы Менделеева
- •Магнитные свойства Атомов
- •Орбитальный и собственный момент электрона
- •Полный магнитный момент одноэлектронного атома
- •Гиромагнитное отношение орбитальных моментов
- •Магнитная энергия атомов
- •Опыты Штерна и Герлаха
Уравнение Клейна-Гордона.
или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ):
где — оператор Д’Аламбера.
— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике).
Кроме прочего, легко видеть, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.
Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:
в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.
Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.
Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.
Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.
Тема
Нестационарное и стационарное уравнение Шрёдингера.
Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид: iћ(∂Ψ /∂t)= -(ћ2 /2m)∆Ψ +UΨ - временное или общее уравнение Шредингера, где i — мнимая единица (), m — масса частицы, ∆ — оператор Лапласа, U — потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция t/(r) не зависит явно от времени).
Согласно интерпретации Ψ-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве, потенциальная энергия U рассматривается как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.
Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама Ψ-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаемая. В стационарных состояниях она имеет вид Ψ (r, t )= ψ (r) e-iωt , ω = E/ћ, где функция ψ (r) не зависит от времени. При таком виде Ψ -функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле, Р = Ψ*Ψ = ψ (r) ψ* (r), т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит. Для нахождения функции ψ (r) в стационарных состояниях: -(ћ2 /2m)∆ ψ +Uψ=Еψ или : ∆ ψ +(2m / ћ2)(Е-U)ψ=0 Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. Потенциальная энергия — функция U(r) —здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.
Квантование. В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения, которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция ψ (r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия U(r) разрывна. Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е. Их называют собственными значениями, а функции ψ (r), являющиеся решениями уравнения при этих значениях энергии, — собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.
Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр.