лекции студентов(есть опечатки и замечания) / 1семестр_ответы / экз.ответы 55-65(1 семестр)

55. Бесконечно-малая функция. Свойства бесконечно-малой функции. Теорема о произведении б.м.ф. на ограниченную.Функция у=f(x) называется бесконечно малой при x→х₀, если, lim_x→x0f(x)=0, что означает: для любого числа ɛ > 0найдется число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x-x₀| < δ, выполняется неравенство |f(x)| < ɛ.

Теорема1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция: d₁(x)±d₂(x)±…±d_n(x)=d(x), где d₁(x),d₂(x)…d_n(x),d(x) – бесконечно малые функции.

Теорема2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая: (огр. ф.)∙(б.м.ф.)=(б.м.ф.).

Следствие1.Произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие2.Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

56.Связь бесконечно малой функции с бесконечно большой.

Теорема4. Если функция α(х) – бесконечно малая (α≠0), то функция 1/α(x) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(x) - ,бесконечно большая, то 1/f(x) – бесконечно малая.

57.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема1. Если функция f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x), т.е. если lim_x→x0 =A, то f(x)=A+α(x).

Теорема2. Если функцию f(x) можно представить виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(x), то число А является пределом функции f(x), т.е. если f(x)=A+α(x), то lim_x→x0 =A.

58. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах. Предел функции в точке — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Теорема1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

lim_x→x0 (f(x)±ϕ(x))= lim_x→x0 f(x)± lim_x→x0 (x).

Следствие1.Функция может иметь только один предел при x→x₀.

Теорема2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

lim_x→x0 (f(x)∙ϕ(x))= lim_x→x0f(x)∙ lim_x→x0ϕ(x).

Следствие2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim_x→x0 c∙f(x)=c∙ lim_x→x0 f(x).

Следствие3. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела lim_x→x0 (f(x))ⁿ. В частности, lim_x→x0 xⁿ=x₀ⁿ, nϵN.

Теорема3.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел, если предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: lim_x→x0 f(x)/ϕ(x)= lim_x→x0 f(x)/ lim_x→x0 ϕ(x),

(limx→x₀ϕ(x)≠0).

59. Признаки существования пределов.

Теорема1. (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между двумя функциями ϕ(x) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, т.е. если lim_x→x0 ϕ(x)=A,

lim_x→x0 g(x)=A, ϕ(x)≤f(x)≤g(x), то lim_x→x0 f(x)=A.

Теорема2.(о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограничена при х<x₀ или при x>x₀, то существует ее левый предел lim_x→x0-0f(x)=f(x₀-0) или ее правый предел lim_x→x0+0(x)=f(x₀+0).

Следствие. Ограниченная монотонная последовательность x_n, nϵN, имеет предел.

60. Первый замеательный предел.При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю: lim_x→0sinx/x=1,называемый первым замечательным пределом.

Следствия:

1. lim_x→x0sinkx/kx=1 или sinx(kx)_x→0~(kx).

2. Пусть 2х – б.м.ф. при х→а, тогда sin(x)_x→a~α(x).

3. lim_x→0tgx/x= lim_x→0sinx/cosx=1

4. α(x) – б.м.ф. при x→a, тогда tgα(x) ~α(х).

61.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. lim_x→∞(1+1/x)^x=e называется вторым замечательным пределом. Функция у=е^x называется экспоненциальной, упоребляется также обозначение е^х=ехр(х). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается lnx, т.е. lnx=log_ex.

62. Сравнение бесконечно малых функций. Пусть α=α(х) и β=β(х) есть б.м.ф. при х→х₀, т.е. lim_х→х0α(x)=0 и lim_х→х0β(x)=0.

1. Если lim_х→х0α/β=А≠0 (АϵR), то α и β называется бесконечно малыми одного порядка.

2. Если lim_х→х0α/β=0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3. Если lim_х→х0α/β=∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4. Если lim_х→х0α/β не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при х→±∞, х→х₀±0.

63. Определение эквивалентных функций.Если lim_x→x0α/β=1, то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→х₀); это обозначается так: α~β.

Применение эквивалентных бесконечно малых функций при:

а) вычислении пределов. Для раскрытия неопределенностей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~x при х→0, tgx~x при х→0.

б) приближенном вычислении. Если α~β, то, отбрасывая в равенстве α=β+(α-β) бесконечно малую более высокого порядка, т.е. α-β, получим приближенное равенство α≈β. Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие.

Таблица эквивалентных функции. (α(x)→0 при х→а)

sin α(x) ~ α(x); 6. еα(х) – 1 ~ α(х); tg α(x) ~ α(x); 7. aα(x) – 1 ~ α(х) · Ina; arcsin α(x) ~ α(x); 8. In(1 + α(x)) ~ α(x); arctg α(x) ~ α(x); 9. loga(1 + α(x)) ~ α(x) · logae; 1 – cos α(x) ~ [α(x)]2/2; 10. (1 + α(x))k – 1 ~ k · α(x), k > 0; в частности, √(1 + х) – 1 ~ х/2.

64. Определение непрерывности функции в точке, на промежутке, на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x)называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. lim_x→x0f(x)=f(x₀).

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа(т.е. lim_x→a+0f(x)=f(a)), а в точке х=b непрерывна слева (т.е. lim_x→b-0f(x)=f(b)).

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. lim_{x→x0 -0}f(x)=А₁ и

lim_{x→x0 -0}f(x)=А₂. При этом:а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва; б) если А₁≠А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва. Величину ∣А₁- А₂∣ называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

65. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях:

Теорема1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема2. Пусть функции u=ϕ(x) непрерывна в точке x₀,a функция у=f(u) непрерывна в точке u₀=ϕ(x₀). Тогда сложная функция f(ϕ(x)), стоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х₀.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

Теорема1(Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема2(Больцано-Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие2. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x)

обращается в нуль: f(c)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох хотя бы один раз:

Следствие2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x)=0.

Утверждения теорем1 и 2 делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [a; b], a в интервале (а; b), либо функция на отрезке [а; b] имеет разрыв. Рисунок показывает это для Следствия2: график разрывной функции не пересекает ось Ox.