25. 26. 27.28.Различные виды уравнений прямой на плоскости.

Простейшая линия на плоскости – прямая.

Уравнение линии на плоскости:

Уравнение с угловым коэффициентом-

Под углом наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и осипротив часовой стрелки осьдо ее совпадения с прямой.

Число =tgназываетсяугловым коэффициентомпрямой, а уравнение-уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то и, следовательно, уравнение прямой будет иметь вид.

Если прямая параллельна оси , то, следовательно,=tg=0 и уравнение имеет вид.

Если прямая параллельна оси , тои уравнение теряет смысл, так как для нее угловой коэффициент=tg=tgне существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид, гдеабсцисса точки пересечения прямой с осью.

Общее уравнение–, где, так как нормальный векторпрямойL:не равен нулю и перпендикулярен прямойL.

Возможны два случая.

Если , то уравнение имеет вид, причем, т. е.. Это есть уравнение прямой, параллельной осии проходящей через точку.

Если , то получаем уравнение. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом=tg=.

Есть частные случаи общего уравнение прямой:

1. Если , то уравнение приводится к виду. Это есть уравнение прямой, параллельной оси;

2. Если , то прямая параллельна оси;

3. Если , то получаем. Уравнению удовлетворяют координаты точки, прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки–(при,).

Пусть прямая проходит через точки М₁(x₁;y₁)иM₂(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точкуМ₁, имеет видy-y₁=k(x-x₁), гдеk- пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку M₂(x₂;y₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнениюy₂-y₁=k(x₂-x₁). Отсюда находим. Подставляя найденное значениев уравнениеy-y₁=k(x-x₁), получим уравнение прямой, проходящей через точкиМ₁иM₂:.

Параметрическое уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координатOxy. Зададим прямуюa, указав лежащую на ней точкуM₁(x₁;y₁) и направляющий вектор этой прямой.

Возьмем произвольную точку плоскости M(x;y). Мы можемвычислить координаты вектора. Очевидно, что множество всех точек M(x;y) задают прямую, проходящую через точкуM₁(x₁;y₁) и имеющую направляющий вектор, тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторовизаписывается в виде уравнения, где- некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид. Уравнения полученной системыназываютсяпараметрическими уравнениями прямойна плоскости.

Каноническое уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координатOxy. Нужно получить уравнение прямойa, еслиM₁(x₁;y₁) - некоторая точка прямойaи-направляющий вектор прямойa.

Пусть M(x;y)- плавающая точка прямойa. Тогда векторявляется направляющим вектором прямойaи имеет координаты. Очевидно, что множество всех точекM(x;y)на плоскости определяют прямую, проходящую через точкуM₁(x₁;y₁) и имеющую направляющий вектортогда и только тогда, когда векторыи- коллинеарны.

Равенство в координатной форме имеет вид.

Если и, то мы можем записать.

Полученное уравнение вида называютканоническим уравнениемпрямойна плоскости. Это уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.

* Уравнение прямой в отрезках –

Пусть прямая пересекает ось в точке М₁(), а ось- в точкеМ₂(). В этом случае уравнение имеет вид, т. е.. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, так как числаиуказывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Полярное уравнение – .

Положение прямой можно определить, указав расстояние от полюса О до данной прямой и уголмежду полярной осью ОР и осью, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.

Для любой точки М() на данной прямой имеем:

пр_l=.

С другой стороны,

пр_l=||.

Следовательно,

Полученное уравнение и есть уравнение прямой в полярных координатахилиполярное уравнение прямой.

Нормальное уравнение прямой -

Пусть прямая определяется заданием и. Рассмотрим прямоугольную систему координатOxy. Введем полярную систему, взявОза полюс иOx за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде, т. е..

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: ,. Следовательно уравнениепрямой в прямоугольной системе координат имеет вид.

Это уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой.

Коэффициент kв уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью.

Переход из одного вида уравнения в другой.

Приведение общего уравнения прямойк каноническому уравнению прямой: если, то переносим слагаемоев правую часть равенствас противоположным знаком. В левой части равенства выносимАза скобки. Полученное равенство можно записать как пропорцию вида.

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямойтолько слагаемое, а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком:. Теперь выносим в правой части равенства–Bза скобкии записываем полученное равенство в виде пропорции.

Переход от общего уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой проводится в два этапа: сначала общее уравнение приводится к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Разберем этот алгоритм при решении примера.

Нужно написать параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнением прямой .

Сначала приведем исходное общее уравнение прямой к каноническому уравнению прямой:.

Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру :.

Из общего уравнения прямой вида получить уравнение прямой с угловым коэффициентомвозможно лишь тогда, когда.

Для этого в левой части общего уравнения прямой оставить только слагаемое:. Затем разделить обе части полученного равенства на число B, которое отлично от нуля,.

Чтобы получить уравнение прямой в отрезках вида из общего уравнения прямой переносим числоСв правую часть равенствас противоположным знаком, делим обе части полученного равенства на–С, и в заключении переносим в знаменатели коэффициенты при переменных x иy:

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен. Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемогоС. Если, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Для перехода к общему уравнению от уравнения прямой в отрезках и уравнения прямой с угловым коэффициентом достаточно просто собрать все слагаемые в левой части равенства:

Каноническое уравнение прямой приводится к общему уравнению прямой с помощью следующих преобразований:

От параметрических уравнений прямой следует сначала перейти к каноническому уравнению прямой, а уже потом к общему уравнению прямо: