лекции студентов(есть опечатки и замечания) / 1семестр_ответы / экз.ответы 36-54

35.Пусть плоскость Q задана уравнением Ax +By + Cz +D = 0 ,а прямая L уравнением = = .

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью Q и прямой L ,а через - угол между векторами =( A; B; C ) и =( m; n; p ) . Тогда = .Найдем синус угла , считая . = И так как , получаем

Если прямая L параллельна плоскости Q ,то векторы и перпендикулярны, а поэтому т.е Am + Bn +Cp=0 является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы и параллельны . Поэтому равенства являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой c плоскостью Ax+ By +Cz+ D=0.

Для этого надо решить систему уравнений . Проще всего это сделать , записав уравнения прямой в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для x, y,и z в уравнение плоскости получаем уравнение A ( +mt) + B(+ C() +D = 0 или t(Am + Bn +Cp) + (A +B +C +D) = 0.

Если прямая L не параллельна плоскости , т.е если Am+Bn+Cp0,то из предылущего равенства находим значение t:

t= - .

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Одновременное выполнение равенств является условием принадлежности прямой плоскости.

36. Простейшей кривой второго порядка является окружность . Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию Пусть точка в прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты , а М(х;у) - произвольная точка окружности. Тогда из условия получаем уравнение то есть

Ексцентриситет равен 0.

37. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой ,

Виды эллипса 1) , a>b- уравнение эллипса, действительная ось 2а, которой параллельна оси 0х. , . Уравнение директрис , .

Фокусы: , .

2) , a<b – уравнение эллипса, действительная ось 2b,которой параллельна оси Oy. . , , . Уравнение директрис : , : . Фокусы ; ,;.

38.Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости ,называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Виды гипербол: 1) , a>b – уравнение гиперболы, действительная ось 2а, которой параллельна оси Ох. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы. . Уравнение директрис: , . Уравнение асимптот: . Фокусы : ,.

2), a<b- уравнение гиперболы, действительная ось 2в которой параллельна оси Оу. . . Уравнение директрис: . . Уравнение асимптот: . Фокусы: ,.

39. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой ,называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p>0).

Виды парабол:1)каноническое уравнение Эксцентриситет равен 1. Уравнение директрисы: . Фокус :

2)Каноническое уравнение . Эксцентриситет равен 1. Уравнение директрисы: . Фокус : ,

3)Каноническое уравнение: . . Эксцентриситет равен 1. Уравнение директрисы:. Фокус:

4) Каноническое уравнение: . . Эксцентриситет равен 1. Уравнение директрисы:. Фокус:

40. По заданному уравнению поверхности второго порядка(т.е поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Эллипсоид.

Уравнение . Эллипсоидом называют замкнутую овальную поверхность . Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если a=b=c, то-- в сферу .

Однополостный гиперболоид.

Уравнение . Однополостным гиперболоидом называют поверхность, имеющая форму бесконечно расширяющейся трубки. Замечание : можно доказать, что через любую точку гиперболоида проходят две прямые ,лежащие на нем.

Двухполостный гиперболоид.

Уравнение . Двухполостным гиперболоидом называют поверхность, состоящую из двух полостей ,имеющих форму выпуклых неограниченных чаш.

Эллиптический параболоид.

Уравнение где p>0, q>0. Эллиптическим гиперболоидом называется поверхность, имеющая вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Гиперболический параболоид.

Уравнение где p>0, q>0. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, имеющая вид седла.

Конус второго порядка.

Уравнение .Поверхность определяемая этим уравнением называется конусом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке. Поверхности , составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

41. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов , объединенных по какому-либо признаку.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N- множество натуральных чисел

- множество целых неотрицательных чисел;

Z- множество целых чисел;

Q- множество рациональных чисел;

R- множество действительных чисел;

Между этими множествами существует cоотношение

N Z Q R

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости меду элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y . Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается или Говорят еще, что функция отображает множество X на множество Y.

Переменная называется аргументом или независимой переменной, а – функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее, зная , находить соответствующее значение . Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Если область определения функции не указана, то предполагается , что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции , соответствующие тем или иным значениям аргумента , непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Функция , определенная на множестве D, называется четной , если выполняются условия и нечетной , если выполняются условия и .График четной функции симметричен относительно оси ,а нечетной – относительно начала координат.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна ,называются интервалами монотонности.

Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0 , что при каждом значение и При этом число Т называется периодом функции.

Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех выполняется неравенство ( короткая запись : ,, называется ограниченной на , если . Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми .

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Е. Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция c областью определения Е и множеством значений D.Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно .

Пусть функция определена на множестве D ,а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от ( или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции). Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  G  плоскости  задана функция  , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением   , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением    . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением      . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по   непрерывны в     , . Тогда в некоторой окрестности точки   существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   .