1. Понятие матрицы. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Виды матриц.

Матрица- прямоугольная таблица чисел или функции, содержащая m-строк и n-столбцов одинаковой длины.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.

Пример:

Две матрицы равны, когда они одного размера и все их элементы совпадают.

Пример:

Если

и , то A=B,

при a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Виды матриц:

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Главная диагональ-диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы.

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример:

или

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, называется единичной.

Пример:

Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны 0.

Пример:

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Пример:

2. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить соответствующие элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу

Пример:

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу K=

Пример:

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, где

Пример:

Свойства:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. α(А+В)=αΑ+αВ, αєR

6. (α+β)*А=αA+βA, α, βєR

7. α(Аβ)=(αβ)А, α, βєR

8. А(ВС)=(АВ)С при согласованности матриц

9. А(В+С)=АВ+АС при согласованности матриц

10. (А+В)С=АС+ВС при согласованности матриц

11. АВ≠ВА (в общем случае) при согласованности матриц

12. =АА

3. Определители второго и третьего порядков. Формулы для их вычисления и свойства.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Свойства определителей:

1. при транспонировании матрицы определитель сохраняется

2. при перестановке 2 параллельных рядом определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен 0.

4. Общий множитель элементов какого-то ряда можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-то ряда определителя представляют собой сумму 2 слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2 соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

4. Миноры, алгебраические дополнения. Основное свойство (теорема Лапласа) о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Минор k -го порядка матрицы – определитель матрицы, составленный из элементов данной матрицы, стоящих на пересечении произвольно выделенных ее k строк и k столбцов с сохранением их порядка, т.е. минор k-го порядка есть определитель квадратной матрицы размера k x k.

Каждая n x m матрица имеет миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются элементы матрицы. Если номера строк, в которых расположен минор, совпадают с номерами столбцов, то он называется главным минором.

Базисный минор матрицы – отличный от нуля минор k-го порядка этой матрицы такой, что все содержащие его миноры (k+1)-го порядка равны нулю, или же минор (k+1)-го порядка не существует. Порядок любого базисного минора матрицы совпадает с рангом матрицы, причем каждый столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация линейно независимых столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

В квадратной матрице n-го порядка дополнительным минором к минору k-го порядка называется определитель (n-k)-го порядка, полученный из данной матрицы вычеркиванием тех k столбцов и строк, в которых расположен минор k-го порядка.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

 В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласса: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

5. Квадратная матрица n-го порядка и ее определитель. Вырожденная и невырожденная квадратная матрицы. Миноры, алгебраические дополнения. Присоединенная (союзная) матрица.

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Союзная матрица — это матрица, элементы которых являются алгебраическими дополнениями, соответствующих элементов исходной матрицы.

6. Матрица, обратная данной. Алгоритм и формула вычисления обратной матрицы. Матричные уравнения AX=B, XA=B (вывод решения).

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Формула:

Алгоритм:

1. Сначала находим определитель матрицы.

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

2. Находим матрицу миноров .

3. Находим матрицу алгебраических дополнений .

4. Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

5. Ответ.

6. Матричные уравнения:

AX=B ХА=В

Х=В

7. Элементарные преобразования строк матрицы. Понятие ступенчатой матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. (на примере 4 из т.р 1). Теорема о ранге матрицы.