10.2 Функции от двух случайных величин

Пусть ξ₁ ξ₂— случайные величины с плотностью совместного распределения , и задана функция g : R²  R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величиныη = g(ξ₁ , ξ₂).

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 25. Пустьх R, и областьD_x  R² состоит из точек(x₁ x₂ )таких, чтоg (x₁ x₂ ) < x.Тогда случайная величинаη = g(ξ₁ , ξ₂). имеет функцию распределения

Всюду далее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ₁иξ₂независимы, то есть

Следствие 10(Формула свертки). Если с. в.ξ₁иξ₂независимы и имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностямиf _ξ1 (x₁)иf _ξ2 (x₂).,то плотность распределения суммыξ₁ + ξ₂равна «свертке» плотностейf _ξ1 (x₁)иf _ξ2 (x₂)

(9)

Следствие 10 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает (заметьте!), что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая – абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение, как показывает следующее упражнение.

Упражнение. Пусть с. в.ξимеет таблицу распределенияP(ξ = а_i) = p_i, с. в.η имеет плотность распределенияf_η(x), и эти величины независимы. Доказать, чтоξ +η имеет плотность распределения

10.3 Примеры использования формулы свертки

Пример 26. Пусть независимые случайные величиныξиηимеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами0 и2.

Доказательство. По формуле свертки, плотность суммы равна

Выделим полный квадрат по uв показателе экспоненты:

Тогда

Последнее равенство верно поскольку под интегралом стоит плотность нормального распределения с параметрами 0и, так что интеграл по всей прямой равен 1. Итак, мы получили, что плотность суммы есть плотность нормального распределения с параметрами0и2.

Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того же распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение устойчивоотносительно суммирования.

В следующих утверждениях, перечислены практически все устойчивые распределения.

Лемма 3. Пусть случайные величиныξ  П_λиη П_μнезависимы. Тогдаξ+ η  П_λ+μ

Лемма 4. Пусть случайные величиныξ  B_n,pиξ  B_m,pнезависимы. Тогдаξ+ η  B_m+n,p

Лемма 5. Пусть случайные величиныинезависимы. Тогда

Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однако его можно считать частным случаем гамма-распределения, которое уже в некотором смысле устойчиво относительно суммирования.

Определение 37. Случайная величинаξимеетгамма-распределениеГ_α,λ с параметрамиα > 0, λ > 0, если она имеет плотность распределения

где постоянная cвычисляется из условия

Заметим, что показательное распределение Е_αесть гамма-распределениеГ_α,1.

Лемма 6.Пусть независимые случайные величиныξ₁, … , ξ_nимеют показательное распределениеЕ_α = Г_α,1Тогдаξ₁ +…+ξ_n  Г_α,n

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»

Из студенческой контрольной работы.