3.3. Качественное исследование движения вблизи точек остановки

Рассмотрим движение частицы, энергия которой равна , вблизи точки (рис. 3.3), т. е. считаем что и . Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничиваясь членом первого порядка малости по разности

. (9.3)

Подставляя (9.3) в формулу (6.3), получим

. (10.3)

Обращая (10.3), найдем

(11.3)

Очевидно, знак в правой части (11.3) нужно поставить, если , а знак -, если . Пусть , т. е. частица в начальный момент времени находится в точке остановки. Тогда закон движения вблизи имеет вид

, (12.3)

т. е. частица движется с постоянным ускорением, что и должно быть, так как движение происходит под действием постоянной силы. Напомним, что формула (12.3) - приближенная; ее точность убывает при удалении от . Сравним отрезки времени, которые затрачивает частица на прохождение малого отрезка пути вблизи и вдали от точки остановки . Из (12.3) следует, что если отрезок пути примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо затратить отрезок времени , т. е. . Малый отрезок пути вдали от точки остановки частица проходит за время , так как в этом случае можно считать силу равной нулю, а движение равномерным. Таким образом, вблизи точки остановки частица затрачивает большее время на прохождение малого отрезка пути , чем вдали от нее. Это вполне естественно, так как скорость частицы вблизи точки остановки стремится к нулю.

Рассмотрим теперь движение частицы с энергией в окрестности точки (рис. 4.3), т. е. вблизи максимума потенциального барьера.

Рис. 4.3

Как и ранее, раскладываем в окрестности . Теперь, однако,

, (13.3)

т. к. . Поскольку в точке имеет максимум, то . Из (5.3) с учетом (13.3) получим

, (14.3)

где .

Из (14.3) находим закон движения частицы в виде

. (15.3)

Знак в показателе экспоненты определяется направлением скорости частицы в начальный момент времени в точке так как

. (16.3)

Поэтому закон движения частицы в окрестности точки при приближении к ней

, (17.3)

при удалении от

. (18.3)

Мы видим, что для прохождения участка пути до точки остановки , находящейся в точке максимума потенциального барьера, частице необходимо бесконечно большой отрезок времени, т. е. частица может приблизиться к лишь асимптотически.

Некоторые интересные замечания о решениях можно сделать, опираясь на полученные выше результаты, о характере движения частицы в окрестности точек остановок, в которых потенциальная энергия частицы имеет маскисмум. Будем считать, что максимумы потенциальной энергии во всех точках остановок одинаковы. Это так называемый вырожденный случай. Рассмотрим движение частицы в полях , графики которых изображены на рис. 5.3, а, б. Для дальнейшего удобно полагать , т. е. считать, что начальный момент времени бесконечно удален в прошлое. Рассмотрим движение частицы в поле , изображенном на рис. 5.3.а, полагая . Из уравнения движения и первого интеграла (полной энергии)

. (19.3)

С учетом начальных условий следует, что , так как и . Зададимся вопросом: каков вид решений уравнения движения, удовлетворяющего условиям ? Возможно ли нетривиальное движение, удовлетворяющее этим начальным условиям? Очевидно, нет. Действительно. Если частица сдвинется (случайно) из точки в любом направлении, то назад она не возвратится. Ее кинетическая энергия никогда не будет равна нулю, так как и при любом . Следовательно, частица никогда не сможет остановиться и повернуть назад. Это видно из рисунка (5.3), так как в таком поле при нет другой точки остановки, кроме . Итак, не вдаваясь в детали поведения и не решая уравнение движения, можно прийти к заключению, что если имеет единственный абсолютный максимум, то нетривиальных возвращающихся в точку (при ) движений нет. Допускаются только тривиальные решения для всех .

В случае поля , изображенного на рис. (5.3), движение может начинаться при из любой точки , при соответствующих начальных условиях, а при частица должна приходить в любую из точек . Такое движение возможно. Например, частица может стартовать с вершины при и подойти к вершине асимптотически при . Или же если при , то это движение может иметь начало в точке , а конец в (или ). Процесс может идти в двух направлениях. Тем не менее, существуют только четыре нетривиальные возможности. Например, не могут осуществляться циклические движения типа или Действительно, при обращаются в нуль . Следовательно, из уравнений

(20.3)

видим, что . Но вместе с ними

(21.3)

и т. д. Таким образом, все производные . Частица, покинув вершину , может только подойти к точке при , где все производные движения исчезают. Она не может вернуться назад в точку или пройти дальше к точке .

Резюмируя, можно сказать, что если имеет только единственный максимум, тогда есть только тривиальные «возвращающиеся траектории», если имеет вырожденных, т. е. одинаковых по величине максимумов , то можно получить типов решений, соединяющих при изменении от до любые два соседних максимума. При этом есть и тривиальные (не зависящие от ) решения. Рассмотренная чисто механическая задача в дальнейшем может оказаться полезной при исследовании статических полевых конфигураций в так называемой двумерной теории поля. В самом деле, статическое (т. е. не зависящее от времени) уравнение движения в этом случае имеет вид

т. е. оно аналогично уравнению Ньютона, в котором роль координаты играет полевая переменная , а роль времени - пространственная координата , а . Рассмотренным выше начальным условиям в теории поля соответствуют определенные граничные условия, а решениям соответствуют решения, описывающие некоторые полевые конфигурации . Среди этих решений при некоторых потенциалах будут решения с локализованной плотностью энергии поля и с конечной полной энергией. Решения, зависящие от времени, удовлетворяют уравнению поля

причем если полная энергия статических решений для некоторого заданного потенциала конечна, то соответствующие называются «уединенными волнами».

1 Свойство обратимости при замене на имеет место и в общем случае движения в трехмерном пространстве. Эту так называемую -инвариантность уравнений механики можно продемонстрировать, сняв на кинопленку какой-то механический процесс, развивающийся в направлении возрастания , и прокручивая ее в обратном направлении.

8