Глава 3 интегрирование уравнений движения

3.1. Одномерное движение. Общие свойства

Далее мы увидим, что в механике рассматриваются некоторые модельные системы, движение которых можно описать одним уравнением

. (1.3)

Здесь не обязательно декартова координата точки, а параметр не всегда обозначает массу точки. Примерами таких систем могут быть: гармонический осциллятор, математический маятник, бусинка на неподвижном гладком кольце и т. п.

Если является только функцией координаты , то уравнение движения интегрируется в общем виде, т. е. основная задача динамики решается при произвольной функции . Для этого найдем первый интеграл уравнения движения (1.3). Умножим (1.3) на , получим

, (2.3)

. (З.З)

Уравнение (2.3) выражает закон сохранения полной энергии (3.3). Из (3.3) можно найти , не отыскивая закона движения точки. Кроме того, (3.3) есть дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно проинтегрировать в общем виде методом разделения переменных. Имеем

(4.3)

откуда

. (5.3)

Решение (5.3), зависящее от двух постоянных является вторым интегралом движения.

3.2. Области движения. Точки остановки

Запишем (3.3) в виде

. (6.3)

Так как , то отсюда следует, что движение происходит только в тех областях пространства, где. Если задана графически, то классически допустимые области движения (для определенной) можно найти, проведя на графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению (рис. 1.3). Действительные корни уравнения определяют границы областей движения. В этих точках потенциальная энергия равна полной, а кинетическая энергия (и скорость точки) обращается в нуль. Поэтому эти точки являются точками остановки частицы; они зависят от . Если полная энергия частицы равна , как на рис. 1.3, то в зависимости от начального значения движение может либо происходить в ограниченной области пространства (если ) между точками , либо в области пространства, ограниченной лишь с одной стороны (если или ). Движение в ограниченной области пространства называют финитным; в ограниченной с одной стороны или неограниченной вообще (движение с ) - инфинитным. При инфинитном движении частица уходит на бесконечность. Частица с энергией в заштрихованных областях находиться не может, как и не может пройти через эти области. Последнее утверждение справедливо только в классической механике. Если система квантовомеханическая, то вероятность просачивания частицы через классически недоступную область (т. е. через потенциальный барьер) отлична от нуля. Поэтому даже если мы приготовили состояние с энергией , то вероятность обнаружения частицы в области можно оценить по формуле

,

а в области

,

где  - постоянная Планка.

В квантовой физике явление прохождения частицы через потенциальный барьер называют квантовым туннелированием или туннельным эффектом. Он будет иметь место при конечных высоте и ширине барьера. Заметим, что формальный переход к классической теории соответствует пределу  0, что влечёт за собой.

Если лежит в области , т. е. частица находится потенциальной яме, то движение является колебательным. Из (1.3) и вообще из уравнений движения следует, что если силы, действующие на частицу, являются потенциальными и зависит от явно, то замена в уравнениях движения на не меняет уравнений движения. Это - свойство обратимости движений, происходящих по законам классической механики¹. В частности, это означает, что время движения от до равно времени обратного движения от до , т. е. . Но период полного колебания равен

(7.3)

и, согласно (5.3), получим

. (8.3)

Этой формулой определяется период колебаний частицы в зависимости от ее полной механической энергии.

Пример. Найти закон движения и период колебаний одномерного гармонического осциллятора. Гармоническим осциллятором называют механическую систему с потенциальной энергией , - к оордината точки. Классически доступная область движения есть при любой положительной полной энергии (рис. 2.3). Заметим, если , то решение тривиально: . Вместе с обращаются в нуль все производные по времени от закона движения: . При закон движения получим, используя (5.3):

Обращая полученную формулу, найдем

.

Отсюда видно, что точка совершает гармонические колебания с периодом .

Период колебаний можно найти непосредственно из (8.3), не отыскивая закон движения. Точки остановки в случае гармонического осциллятора , поэтому

.