1.4. Естественные координаты

Рассмотрим в качестве аргумента радиус-вектора точки длину дуги траектории , отсчитывая ее от начальной точки, соответствующей моменту времени, в направлении движения точки. Сама длина дуги задается, таким образом, как функция времени. Движение точки описывается векторной и скалярной функциями:

. (22.1)

Описание вполне однозначно: каждому соответствует только одно определенное значение , так какявляется монотонно возрастающей (положительной) функцией Векторная функция позволяет определить в каждой точке траектории так называемые естественные координаты, орты которых образуют естественный трехгранник. Построим эти орты. Касательный вектор в данной точке траектории, очевидно, является единичным вектором, так как, где - элемент дуги, - приращение радиус-вектора, т. е. стягивающая хорда. Поэтому имеем

, (23.1)

. (24.1)

Дифференцируя (24.1) по , получим

, (25.1)

откуда следует, что вектор ортогонален вектору (см. рис. 4.1). Но . Из рисунка видно, что

так как - единичный вектор. Представим вектор в виде

, (26. 1)

где - единичный вектор, направление которого совпадает с вектором, а функцияназывается кривизной кривой в данной точке. Векторназывается вектором главной нормали, а угол, равный углу между двумя соседними касательными к траектории, называется углом смежности. Кривизна характеризует меру отклонения кривой от прямой в данной точке. Через векторыипроведем плоскость, которую назовем соприкасающейся плоскостью. В этой плоскости в направлении вектораотложим отрезок длины(рис. 4.1). Если теперь в соприкасающейся плоскости построить окружность радиусас центром в точке, то она будет иметь касание второго порядка с траекторией³ в точке . Эту окружность называют кругом кривизны, а ее радиус - радиусом кривизны.

Третий единичный орт построим с помощью векторного произведения и:

. (27.1)

Это вектор бинормали. Векторы ,,очевидно, образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, которыми определяются направления естественных (натуральных) координатных осей в том месте траектории, где в данный момент времени находится движущаяся точка (рис. 5.1). Проекции векторови на декартовы оси имеют вид

где . Штрихом мы обозначили производную по.

Парами векторов определяются плоскости: соприкасающаяся , нормальнаяи спрямляющая. Эти плоскости образуют так называемый естественный трехгранник Френе.

Изучение изменения направления касательного вектора привело нас к понятию кривизны кривой. Новое понятие можно ввести, если рассмотреть изменение направления соприкасающейся плоскости или, что тоже самое, бинормали. Так мы приходим к понятию кручения кривой. Для этого найдем

. (28.1)

С другой стороны, так как , то

, (29. 1)

поэтому из (28.1), (29.1) заключаем, что ортогонален векторами. Следовательно,коллинеарен с:

. (30.1)

Здесь называют кручением кривой, а - радиусом кручения кривой в некоторой точке кривой. Так как - единичный вектор, то

, (31.1)

где - угол между двумя соседними бинормалями. Из (30.1) видно, что если всюду, то бинормаль не меняет своего направления, а кривая является плоской. Иными словами, кручение является мерой отклонения кривой от плоской кривой. Нетрудно показать, что Т является псевдоскаляром.

Найдем . Так как, то

, (32.1)

где мы учли (26.1) и (30.1), а также соотношения ,. Следовательно, единичные векторы естественных координатных осей изменяются вдоль траектории согласно формулам

, ,. (33.1)

Это формулы Френе.

Найдем теперь проекции скорости и ускорения на оси естественных координат:

, (34.1)

. (35.1)

Мы видим, что проекция скорости на касательную к траектории равна ⁴

.

Вектор ускорения имеет две проекции: проекцию на касательную, равную ,и проекцию на главную нормаль , гдеR - радиус кривизны в рассматриваемой точке. Заметим, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости: его проекция на бинормаль всегда равна нулю.

В заключение приведем без вывода формулу для кручения кривой. Ее нетрудно получить, умножая скалярно правую и левую части (30.1) на вектор . После несложных преобразований получим

,

откуда видно, что является псевдоскалярной величиной, так как пропорциональна скалярному произведению полярного вектора и аксиального (псевдовектора) вектора.

Упражнения

Показать, что если , то кривая есть прямая.

Так как , тои, причем-постоянный вектор. Значит,,, а это есть уравнение прямой.

Показать, что если , то кривая является плоской.

Из условия следует, что,. Заметим, что, аортогонален. Так как ортогонален , то, т. е.. Отсюда, интегрируя, получим. Последнее уравнение есть уравнение плоскости, в которой и должна лежать кривая.

1При инверсии координатных осей все компоненты полярного вектора изменяют знак, в то время как компоненты аксиального вектора при такой операции знака не меняют. Примеры полярных векторов: радиус-вектор, скоростьи т. д. Аксиальные векторы - секторная скорость, момент импульса. Вообще, вектор, построенный как векторное произведение двух полярных векторов, является аксиальным вектором. Аксиальный вектор называют также псевдовектором.

2Координатными поверхностями в декартовой системе называют плоскости, перпендикулярные осямOx, Оу, Oz и образующие три семейства взаимно перпендикулярных плоскостей.

3Понятие касания просто дать на языке множеств: пусть и -два множества с общей точкойО. Множество имеет вкасание порядка, если

,

где - расстояние точкимножестваот:

(здесь рисунок)

4Скалярное произведение векторовимы обозначаем какили просто, векторное произведение двух векторовиобозначается.

7