Глава 1

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1.1. Кинематические меры движения

Основными кинематическими мерами движения в механике материальной точки и системы материальных точек являются скорости и ускорения поступательного движения. Механические движения в кинематике изучаются на основе их геометрических свойств, т. е. без учета масс тел и действующих на них сил. Методы кинематики и установленные в ней зависимости используются при исследовании задач кинематики, а также в задачах динамики.

Движение любого объекта в кинематике изучается по отношению к некоторому выделенному телу (телу отсчета), с которым связывается система отсчета (СО), позволяющая определить положение движущегося объекта в разные моменты времени относительно тела отсчета. Важно, что выбор СО в кинематике произволен и зависит от целей исследования. Задачей кинематики является установление (с помощью математических методов) способа задания движения материальных точек и определение соответствующих кинематических характеристик движения (траектории, скорости, ускорения движущихся точек).

Положение материальной точки относительно системы отсчета может быть задано с помощью радиус-вектора точки как функции времени. Конец этого радиус-вектора описывает в пространстве кривую (считаем, непрерывную), которая называется годографом вектораи является траекторией точки. Радиус-векторы точек, их скорости и ускорения можно задавать в различных координатах. Это и есть различные способы задания движения тел. Заметим, что векторное уравнениепараметрически задает траекторию в пространстве. Годограф вектораесть геометрическое место концов векторов, откладываемых от общего началаО. Исключив из векторного уравнения переменную, найдем уравнение траектории в виде линии пересечения двух поверхностей, например. Если разрешенные относительно иуравнения записать нельзя, то траекторию можно представить в виде пересечения двух поверхностей общего вида:.

Скорость точки относительноопределяется как производная от радиуса-вектора по времени. Обозначим ее как.

Производная от вектора скорости точки по времени называется ускорением точки относительно ; ускорение будет обозначать векторомОчевидно, скорость точки направлена по касательной к годографу радиус-вектора, а ускорение направлено по касательной к годографу вектора скорости точки.

Кроме этих кинематических характеристик движения в механике материальной точки вводится и используется понятие секторной скорости точки , которая определяется как векторное произведение двух полярных векторовии является, таким образом, аксиальным вектором (псевдовектором)¹:

. (1.1)

Представим в виде

, (2.1)

где - вектор, характеризующий элементарное перемещение точки, а модуль аксиального вектораравен площади, описанной радиус-векторомпри перемещении точки на. Поэтому модуль секторной скорости характеризует площадь, очерчиваемую радиус-вектором в единицу времени (см. рис. 1.1).

Запишем выражения ив различных координатах.

1.2. Декартова (правая) система координат

Напомним, что в правой системе за положительное принимается направление отсчета углов (поворотов) против часовой стрелки. Радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами , являющимися также функциями времени. Вводя единичные векторы вдоль осейOx, Оу, Oz соответственно, представим в виде

. (3.1)

Функции - компоненты радиус-вектора, т. е. декартовы координаты точки.

Дифференцируя (3.1) по времени с учетом равенств , получим разложение вектора скорости точки по ортам декартовой системы координат:

. (4.1)

И аналогично получим вектор ускорения точки:

. (5.1)

Для справочных целей напомним следующее представление вектора :

, (6.1)

где - компоненты секторной скорости вдоль декартовых осей.