10.8. Теорема лиувилля

Рассмотрим «элемент объема» фазового пространства

и вычислим интеграл по некоторой области фазового пространства, изображающий собой ее объём. Представим себе, что в объеме в момент времени сосредоточена бесконечная совокупность одинаковых механических гамильтоновых систем (так называемый ансамбль Гиббса), отличающихся друг от друга только начальными условиями. С течением времени этот ансамбль будет передвигаться в фазовом пространстве, заняв в момент другую область с объёмом

. (81.10)

Ясно, что каждая точка фазового пространства перемещается со временем согласно гамильтоновым уравнениям. На фазовой плоскости это движение изображено на рис. 1.10.

Покажем, что при перемещении объем рассматриваемого участка фазового пространства остается неизменным, т. е. :

. (82.10)

Учитывая, что реальное движение системы можно рассматривать как непрерывно совершаемое каноническое преобразование, производящей функцией которого является гамильтониан системы в момент времени , установим связь между переменными , в момент времени и переменными , момент времени . Из (79.10) и (80.10) следует

, (83.10)

. (84.10)

Так как , являются функциями , , запишем фазовый объем в виде интеграла по области

, (85.10)

где

- якобиан преобразования от переменных , к переменным , . Элементы якобиана с учетом (83.10)-(84.10) нетрудно получить в виде

, (86.10)

. (87.10)

Подставляя (86.10) - (87.10) в выражение для якобиана , найдем с точностью до линейных по членов:

. (88.10)

Это теорема Лиувилля, выражающая собой закон сохранения фазового объема: Фазовый объем данного ансамбля механических гамильтоновых систем (в отсутствие диссипативных сил) не изменяется во время движения.

Хотя мы доказали теорему о сохранении фазового объема, используя бесконечно малые канонические преобразования, нетрудно доказать ее и для конечных канонических преобразований, замечая, что канонические преобразования обладают групповыми свойствами.

10.9. Первые интегралы движения и свойства симметрии

Рассмотрим некоторую функцию обобщённых координат и обобщённых импульсов . Предположим, что в результате бесконечно малого канонического преобразования эта функция изменилась на . Под изменением функции понимаем замены ее аргументов , , т. е. переход от , к их значениям в момент времени . Вычислим :

(89.10)

Здесь мы использовали формулы инфинитезимальных канонических преобразований. Положим теперь, что есть гамильтониан системы. Тогда

, (90.10)

и если - интеграл движения, то . Из (90.10) видно, что инфинитезимальные канонические преобразования осуществляются такой производящей функцией , что гамильтониан системы не изменяется, так как . Это наблюдение позволило высказать утверждение, что все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех инфинитезимальных канонических преобразований, при которых не меняется гамильтониан.

Пример. Рассмотрим систему, гамильтониан которой не содержит обобщённую координату , т. е. - циклическая координата. Запишем уравнения инфинитезимальных преобразований

. (91.10)

Мы учли, что и .

С другой стороны,

. (92.10)

Сравнивая (91.10) и (92.10), получаем , , откуда , т. е. производящая функция представляет собой канонический импульс, сопряженный координате .

1) В квантовой механике соотношение, где, — операторы физических величин,—постоянная Планка, называют коммутационными соотношениями. Они определяются как . Коммутационные или перестановочные соотношения для операторов, введены Гейзенбергом. Процедура так называемого канонического квантования состоит в переходе от фундаментальных скобок Пуассона к перестановочным соотношениям Гейзенберга.

21