10.5. Скобки пуассона - инварианты канонических преобразований

Важным свойством скобок Пуассона является инвариантность относительно канонических преобразований. Докажем это. Пусть даны скобки Пуассона в переменных ,

. (63.10)

Покажем, что скобки Пуассона

при условии, что и получены в результате преобразования, удовлетворяют соотношению

. (64.10)

Вычислим

(65.10)

и

(66.10)

Пусть, например, каноническое преобразование задается с помощью функции . Тогда , , а , так как не зависит от . Кроме того, очевидно,

.

С учетом этих равенств, замечая, что индексы суммирования , можно переобозначить, нетрудно получить из (66.10)

(67.10)

Свойство инвариантности доказано.

10.6. Интегральные инварианты пуанкаре

Инвариантами канонических преобразований кроме скобок Пуассона являются, и так называемые интегральные инварианты Пуанкаре. На этот счёт имеется следующая

Теорема Пуанкаре. Интеграл

является инвариантом любого канонического преобразования. Здесь - произвольная двумерная поверхность в фазовом пространстве размерности .

Доказать эту теорему рекомендуется самостоятельно. Мы наметим здесь лишь одну из возможных схем доказательства. Положение точки на двумерной поверхности определяется двумя параметрами. Пусть на поверхности S такими параметрами будут и . Тогда , . Связь между элементами площади и определяется якобианом

(68.10)

и имеет вид

. (69.10)

Произведем каноническое преобразование от переменных , к переменным , . Утверждение теоремы записывается в виде

(70.10)

или в эквивалентной форме

. (71.10)

Но так как область интегрирования является здесь произвольной, (71.10) выполняется, если только равны якобианы

. (72.10)

Поэтому доказательство инвариантности эквивалентно доказательству инвариантности сумм якобианов. Далее нужно взять какую-либо производящую функцию канонического преобразования, скажем, , и, выразив и через производные от , нетрудно доказать равенство якобианов.

Оказывается, что можно построить целую последовательность интегральных инвариантов

.

Здесь — произвольная четырехмерная поверхность фазового пространства и т. д. И наконец,

.

В интегрирование проводится по произвольной области фазового пространства (как говорят, по объему фазового пространства).

10.7. Бесконечно малые канонические преобразования

Рассмотрим канонические преобразования вида

, , (73.10)

где , - конечные, непрерывные функции обобщённых координат, обобщенных импульсов и времени, бесконечно малые по сравнению с и соответственно. Подчеркнем, что и являются приращениями и , а не их вариациями.

Канонические преобразования, задаваемые формулой (73.10), называют бесконечно малыми или, инфинитезимальными каноническими преобразованиями. Ясно, что (73.10) могут быть построены с помощью производящей функции, близкой к функции тождественного канонического преобразования

, (74.10)

где — малый параметр. будем называть также производящей функцией. Формулы преобразований, задаваемых (74.10):

, (75.10)

. (76.10)

Учитывая (75.10), видим, что , и поэтому с точностью до членов первого порядка по параметру имеем

, (77.10)

. (78.10)

Заметим, что в можно заменить на . Положим , . Из (77.10) - (78.10) найдём

, (79.10) . (80.10)

Мы видим, что с помощью инфинитезимального канонического преобразования с производящей функцией мы получили значения канонических переменных в момент времени , т. е. мы нашли , .

Иными словами, изменение механического состояния гамильтоновой системы за малый промежуток времени можно получить посредством инфинитезимального канонического преобразования, генерируемого гамильтонианом. Под этим углом зрения само движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершаемое каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый данный момент времени является гамильтониан системы.