10.4. Канонические преобразования

Преимущество метода Гамильтона по сравнению с методом Лагранжа заключается в том, что в нем обобщённые координаты и обобщенные импульсы выступают равноправно и поэтому метод Гамильтона предоставляет значительно больше возможностей выбора величин, которые принимаются за «координаты» и «импульсы». Тем самым вырабатываются более абстрактные формы изложения основных положений теоретической механики. Мощные теоремы в теории устойчивости движения нелинейных систем (Ляпунова, Колмогорова, Арнольда, Мозера) были доказаны на основе уравнений первого порядка по времени, т. е. уравнений, близких к гамильтоновым. Наконец, методы гамильтоновой динамики оказываются чрезвычайно полезными при построении других физических теорий, где они и сейчас играют фундаментальную роль.

Фактически эти методы явились исходными пунктами при построении квантовой механики, квантовой теории поля, статистической механики.

Во всех этих проблемах значительное место занимают канонические преобразования. Так, можно заметить, что уравнения Гамильтона обладают важным и интересным свойством: они сохраняют свой вид, т. е. являются ковариантными при таких преобразованиях переменных и , которые уже не являются точечными преобразованиями. Этот более широкий класс преобразований называют каноническими преобразованиями.

Определение. Каноническими преобразованиями называют такие преобразования канонических переменных , , которые не изменяют общего вида канонических уравнений

(35.10)

для любой гамильтоновой системы.

Иными словами, если перейти к описанию движения системы новыми переменными

(36.10)

то в этих переменных уравнения Гамильтона сохраняют свой вид:

(37.10)

где — «новая» функция Гамильтона. Относительно функций , предполагается, что они однозначные и имеют непрерывные частные производные второго порядка по всем переменным. Поэтому якобиан преобразований (36.10) должен быть отличным от нуля:

(38.10)

Важную роль в канонических преобразованиях играет производящая функция, которая может зависеть от переменных , , , . Всего таких переменных . Независимых переменных, однако, , так как переменных можно выразить через независимых по формулам (36.10). В производящую функцию входят независимые переменные, причем обязательно должно быть «старых» и «новых» переменных. Следовательно, всего может быть только четыре вида производящих функций преобразования: , , , .

Переменные , так же, как и , являются каноническими в том смысле, что уравнения Гамильтона сохраняют свой вид в этих переменных. Это накладывает определенные ограничения на преобразования переменных, и встает вопрос о необходимых и достаточных условиях «каноничности преобразований».

Очевидно, для того чтобы динамика механической системы в переменных , определялась уравнениями (35.10), а в переменных , - уравнениями (37.10), нужно потребовать, чтобы и уравнения (35.10), и уравнения (37.10) выводились из модифицированного принципа Гамильтона, т. е.

(39.10)

(40.10)

Какое-либо из этих соотношений можно умножить на произвольную постоянную (обычно умножают (40.10)), не меняя самих соотношений. Эта постоянная определяет так называемую валентность преобразования. Если , то преобразование называют унивалентным. Поскольку наличие постоянной не влияет существенно на общие выводы, будем полагать ее равной единице.

Напомним, что (39.10) выполняется в конфигурационном пространстве , а (40.10) - в пространстве , поэтому подынтегральное выражение в (39.10) определено с точностью до полной производной по времени , а подынтегральное выражение в (40.10) определено с точностью до . С учётом этого, приравнивая (39.10) и (40.10), получаем

(41.10)

где

(42.10)

Формула (41.10) выражает необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. Из нее можно получить формулы канонического преобразования, которое определяется производящей функцией . Для этого вычислим и запишем подынтегральное выражение в виде

(43.10)

Приравнивая коэффициенты при , получаем

(44.10)

(45.10)

(46.10)

Это и есть формулы канонического преобразования, определяемые функцией . Практическая их значимость заключается в следующем. Задав производящую функцию преобразования и разрешая соотношение (44.10), можно получить явный вид функций . Из (45.10), подставляя найденные получим . Наконец, подставляя в (46.10) , , найдём новый гамильтониан .

Заметим, что уравнение (41.10) является основным в теории канонических преобразований и может быть принято за их определение. Тогда можно доказать, что при переходе к переменным , , которые определяются формулами (44.10)-(46.10), гамильтонова форма уравнений движения сохраняется. Этот способ изложения обратен приведенному здесь.

Формулы преобразований, определяемых производящими функциями , , , можно получить, воспользовавшись преобразованиями Лежандра.

Рассмотрим преобразование с функцией. Поскольку зависит от , , а - от , , причём , то для получения формул искомого преобразования можно воспользоваться соотношением (43.10), выражая в нём через согласно

(47.10)

Иными словами, как и в преобразовании Лежандра, мы переходим от переменных , , , к переменным , , , таким, что . Подставляя (47.10) в (43.10), получим

(48.10)

Отсюда следуют формулы преобразования

, (49.10)

, (50.10)

. (51.10)

Точно так же, используя (43.10) и рассматривая задачу как переход от переменных , , , к переменным , , , при котором , можно получить формулы канонического преобразования, определяемого производящей функцией . Нетрудно видеть, что в этом случае

(52.10)

и

(53.10)

Из (53.10) находим

(54.10)

(55.10)

(56.10)

Наконец, преобразование, осуществляемое производящей функцией , можно получить используя (43.10) и рассматривая переход от , , к , , с помощью так называемого двойного преобразования Лежандра, так как

.

Поэтому

(57.10)

и

Формулы канонического преобразования, определяемого производящей функцией , очевидно, таковы:

(58.10)

(59.10)

(60.10)

Заметим, что во всех случаях формула преобразования гамильтониана одинакова:

Примеры канонических преобразований

1. Тождественное преобразование. Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией . Из формул (49.10)-(51.10) находим

. (61.10)

Видно, что это действительно тождественное преобразование.

2. Преобразование, меняющее местами координаты и импульсы (инверсия). Пусть преобразование задается производящей функцией

.

Из (44.10)-(46.10) имеем

.

3. Точечные преобразования, рассматриваемые с точки зрения канонических. Пусть производящая функция канонического преобразования

. (62.10)

Из (49.10)-(51.10) получаем

,

а это и есть точечные преобразования.

Одним из важных приложений теории канонических преобразований является возможность приведения гамильтониана к такому виду, что задача интегрирования канонических уравнений может стать существенно проще исходной. Например, если «новый» гамильтониан не зависит от какой-то координаты, то «новый» импульс, соответствующий этой координате, является константой, что упрощает общую задачу интегрирования канонических уравнений. Заманчива мысль построить такое преобразование, чтобы новый гамильтониан вообще не содержал новых координат, т. е. чтобы все новые координаты являлись циклическими. Продемонстрируем такую возможность на примере гармонического осциллятора.

Гамильтониан осциллятора в канонических переменных имеет вид

Проведем каноническое преобразование, производящую функцию которого выберем в виде

Это функция вида Формулы преобразования с :

,

.

Отсюда

.

Обобщённая координата является циклической, импульс - константа движения, причём

.

Интегрирование этих уравнений по времени тривиально

.

Решение в старых координатах дает закон движения гармонического осциллятора, полученный выше:

.