10.2. Вывод канонических уравнений из вариационного принципа

Поскольку формализм, базирующийся на функции Гамильтона широко применяется в разных областях теоретической физики представляется необходимым показать, как уравнения Гамильтона могут быть выведены из общих вариационных (интегральных) принципов. Фактически это будет означать, что вся динамика механической системы определяется одной функцией - её гамильтонианом. Для доказательства этого положения можно воспользоваться принципом Гамильтона- Остроградского, введя некоторые изменения в подынтегральное выражение (60.7).

Подставим в (60.7) следующее выражение функции Лагранжа

(11.10)

и запишем принцип Гамильтона-Остроградского в виде

(12.10)

. (13.10)

Это — вторая форма принципа Гамильтона - Остроградского, или модифицированный принцип Гамильтона. Он гласит:

Реальное движение механической, системы, состояние которой определяется каноническими переменными,, , , осуществляется таким образом, что первая вариация функционала обращается в нуль при условиях (13.10).

Рассмотрим вариацию , полагая, что все входящие в канонические переменные являются независимыми:

Здесь мы учли, что и проинтегрировали по частям члены, содержащие . Согласно (12.10) и (13.10)

(14.10)

Но так как все вариации , независимы и произвольны, (14.10) удовлетворяется, если только коэффициенты при всех и будут равны нулю, т. е.

Тем самым доказано, что канонические уравнения можно вывести из модифицированного принципа Гамильтона.

Подчеркнем, что требование независимости групп переменных и здесь было весьма существенным. Обобщенные импульсы в методе Гамильтона считаются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты; связаны с только уравнениями движения, т. е. динамически, а не кинематически, т. е. заранее заданными соотношениями, как, скажем, связаныс . Мы видим, что ни одна из групп переменных и не рассматривается здесь как основная. Обе группы независимы. Причем, только увеличив число переменных с до , можно получить уравнения первого порядка по времени.

10.3. Интегралы канонических уравнений. Скобки пуассона. Теорема пуассона

Рассмотрим некоторою функцию канонических переменных и времени и поставим вопрос о том, когда эта функция будет обращаться в постоянную в силу уравнений движения (9.10), т. е. будет интегралом гамильтоновой системы. Вычислим полную производную по времени:

(15.10)

Подставляя в (15.10) вместо и правые части (9.10), получим

(16.10)

где

(17.10)

Последнее выражение называют скобками Пуассона для величин и . Условие того, что величина есть интеграл движения, имеет вид

(18.10)

Если же явно от времени не зависит, то, для того чтобы функция канонических переменных была бы интегралом движения, скобки Пуассона с функцией Гамильтона данной механической системы должны обращаться в нуль:

(19.10)

Скобки Пуассона можно определить для любой пары величин , зависящих от , , :

(20.10)

Используя это определение, нетрудно доказать следующие свойства:

1)

2) где — постоянная функция, не зависящая от , ;

3)

4)

5)

6)

Можно ввести понятие фундаментальных скобок Пуассона. Для этого положим одну из функций или равной или . Тогда

(21.10)

(22.10)

Положим теперь в (21.10) , и , а в (22.10) . Получаем

(23.10)

Соотношения (23.10) называют фундаментальными скобками Пуассона¹⁾.

Скобки Пуассона позволяют по-иному записать уравнения Гамильтона. В самом деле, пусть в (21.10), (22.10) . Тогда вместо (21.10), (22.10) получим

,(24.10)

. (25.10)

Уравнения (24.10), (25.10), очевидно, являются уравнениями Гамильтона, записанными с помощью скобок Пуассона. Они являются частными случаями равенства (16.10), в котором в качестве выбирается либо , либо . Положим в (16.10) . Получим

(26.10)

Следовательно, если не зависит от времени явно, то Гамильтониан механической системы является интегралом движения.

Можно показать, что между скобками Пуассона, составленными из трёх функций , и , существует соотношение

(27.10)

называемое тождеством Якоби.

Одним из важных свойств скобок Пуассона является возможность получения интеграла движения – скобки Пуассона , если и –­ интегралы движения. Это утверждение составляет содержание теоремы Пуассона. Докажем эту теорему. Вычислим полную производную по от :

(28.10)

и воспользуемся тождеством Якоби, приводя (28. 10) к виду

(29.10)

Но если и - интегралы движения, то

(30.10)

Следовательно, что и требовалось доказать.

Мы видели, что полная производная по времени любой функции канонических переменных , , которая не зависит от времени явно, определяется равенством

(31.10)

Покажем, что значение в момент времени выражается через значение в момент времени следующей формулой:

(32.10)

где , удовлетворяют каноническим уравнениям, описывающим эволюцию механической системы, гамильтониан которой явно от времени не зависит; . Ряд в правой части (32.10) предполагается сходящимся.

Доказательство проводится непосредственно подстановкой решения (32.10) в (31.10), в результате которой (31.10) будет удовлетворяться тождественно.

Приведенная формула интересна тем, что на основе её аналога строится теория возмущений в квантовой теории. В задачах теоретической механики использование этой формулы не всегда дает наиболее простой путь решения задачи, однако она эффективна для нахождения приближенного решения в задачах, где можно выделить малый параметр.

В качестве примера рассмотрим, однако, простую точно решаемую задачу. Найдем , в задаче гармонического осциллятора. Гамильтониан системы

Положим и вычислим скобки Пуассона:

Очевидно, в этом примере правая часть формулы (32.10) легко восстанавливается:

(33.10)

Функции и мы восстановили по первым двум членам их разложений.

Аналогично, полагая и вычисляя скобки Пуассона

для получим

(34.10)

Формулы (33.10) и (34.10) определяют состояние системы в момент времени , т. е. представляют собой решения канонических уравнений для гармонического осциллятора.