Глава 10 гамильтонова динамика

10.1. Канонические уравнения

Описание движения механической системы с степенями свободы с помощью канонических уравнений, или, как их называют, уравнений Гамильтона, производится в -мерном (фазовом) пространстве. Это связано с тем, что зачастую оказывается более удобным осуществить переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по времени от уравнений Лагранжа, но второго порядка по времени. Имеется в виду переход от независимых переменных к независимым переменным. Заметим, что в функции Лагранжа величины и не являются независимыми, поскольку является производной по времени.

Простейший путь перехода к независимым переменным, очевидно, состоит в том, чтобы ввести новых переменных согласно соотношениям

(1.10)

Эти соотношений можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих между собой переменных и . Но теперь функция Лагранжа зависит от ,, а уравнения Лагранжа формально имеют вид

(2.10)

Уравнения (1.10) и (2.10) образуют систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Движение механической системы теперь изображается кривой в -мерном пространстве , . Удобно вместо , ввести совокупность переменных , , в которых уравнения движения системы приобретут более симметричный вид. Этого можно достичь, если в качестве переменной использовать обобщенный импульс

. (3.10)

Регулярный способ описанных преобразований состоит в переходе от переменных , , к переменным , , , с помощью преобразований Лежандра. Задача формулируется следующим образом. От функции , зависящей от , , перейти к функции зависящей от , , , причём «новые переменные» выражаются через «старую функцию» с помощью (3.10). Вычислим дифференциал

(4.10)

и введем функцию посредством

(5.10)

Найдем полный дифференциал

(6.10)

Но определяются из (3.10), так что, выражая из них через , , , видим, что действительно является функцией . Функция называется функцией Гамильтона или гамильтонианом механической системы. Это та же обобщенная энергия, но в ней все обобщенные скорости заменены обобщенными импульсами. Зная эту функцию, можно вывести канонические уравнения. Для этого найдем , считая функцией :

(7.10)

и сравним (6.10) с (7.10). Так как левые части обеих формул представляют собой полные дифференциалы одной и той же функции, их правые части также должны совпадать. При независимых , для этого должны выполняться

(8.10)

Воспользуемся определением (3.10) и уравнениями Лагранжа, записанными в форме

и подставим из этого уравнения вместо в (8.10). Тогда получим симметричные (с точностью до знака) уравнения движения механической системы в фазовом пространстве, которые определяются с помощью функции Гамильтона

(9.10)

Это и есть уравнения Гамильтона. Они представляют coбoй систему дифференциальных уравнений первого порядка по времени относительно переменных , . Полезно помнить следующий алгоритм составления этих уравнений:

1. построить функцию Лагранжа системы;

2. найти «новые переменные» - канонические импульсы - по формулам (3.10);

3. построить функцию Гамильтона ;

4. подставить функцию Гамильтона в уравнения (9.10).

В процедуре перехода от переменных к часть переменных заменяется новыми переменными ( на ), другая часть не меняется. Первую группу переменных называют активными, вторую - пассивными переменными. Время , разумеется, не является динамической переменной и рассматривается формально как пассивная переменная. Заметим, что соотношения для переменных, которые не преобразовываются, будут аналогичны соотношению для «пассивной переменной» :

(10.10)

Действительно, первые соотношений нетрудно получить, сравнивая две системы уравнений:

Последнее замечание касается «дуальной природы» преобразований Лежандра. Она отражается в следующих уравнениях:

Видно, что «новые» переменные выражаются через «старую» функцию так же, как «старые» переменные - через «новую» функцию . Иными словами, исходя из с помощью указанных выше трёх операций можно построить . Но точно так же можно начать с функции Гамильтона и тремя последовательными операциями построить .