6.2. Диаграммы скоростей и импульсов

Общим результатам, полученным выше на основании законов сохранения энергии и импульса, можно дать геометрическую интерпретацию, изображая на графике импульсы частиц в л-системе. Для этого умножим формулы (1.6) на и соответственно :

, (6.6)

. (7.6)

Построим окружность радиуса и далее векторы (6.6), (7.6) (рис. 2.6). При заданных и радиус окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности. Рассмотрим случай когда одна из частиц (для определенности массы ) при покоится, т.е. . В этом случае , и, в зависимости от соотношения масс и,получим диаграммы, изображенные на рис. 3.6. Указанные на рис. 3.6. углы и , представляют собой углы отклонения (рассеяния) частиц после столкновения по отношению к направлению движения налетающей частицы импульса (направление удара).

Углом задаётся направление вектора , и, значит этот угол представляет собой угол поворота частицы массы в системе центра масс. Из элементарной геометрии находим связи

. (8.6)

Абсолютные величины скоростей обеих частиц как функции можно найти из формулы

, (9.6)

. (10.6)

Суммарный угол

есть угол разлёта частиц после столкновения. Видно, что при и при . Напомним, что - масса налетающей частицы.

Заметим, что при скорость налетающей частицы после столкновения может иметь любое направление, но если , то угол отклонения первоначально движущейся частицы ограничен значением, соответствующим такому положению точки С, при котором прямая АС касается окружности. При этом

.

Если и, кроме того то диаграмма импульсов становится совсем простой (рис. 4.6). Существенно упрощаются и формулы, выражающие связи , с углом :

,

.

Очевидно, в этом случае угол разлета

.

Рис. 4.6

Рассмотрим теперь случай так называемого лобового удара, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой: , или взаимно противоположны (если ), или направлены в одну сторону (если ). Скорости частиц после столкновения получим прямо из (1.6) в виде

. (11.6)

Из (11.6) видно, что при лобовом ударе первоначально покоившаяся частица приобретает после столкновения максимально возможную энергию

,

где - энергия движущейся до столкновения частицы.

6.3. Эффективное поперечное сечение рассеяния

Физическая задача о рассеянии заключается в определении характеристик пучка частиц массы , имеющих до рассеяния одинаковые скорости , на пучке частиц массы скорости которых до рассеяния также одинаковы и равны . При этом предполагается, что оба пучка однородны по своим сечениям и что каждый из пучков разрежен настолько, что взаимодействие между частицами внутри самого пучка можно не учитывать. Так как оба пучка являются разреженными, процесс рассеяния каждой частицы одного пучка на частице другого пучка можно считать однократным.

Основные характеристики процесса рассеяния получим в ц-системе для -точки. Различные пары частиц, т. е. различные -точки, обладают разными прицельными расстояниями и соответственно им рассеиваются под разными углами (рис. 5.6)

Рис. 5.6

Нетрудно понять, что центры масс всех -точек покоятся относительно друг друга, поэтому угол для каждой данной пары взаимодействующих частиц будет одним и тем же относительно системы отсчета с началом в центре масс любой пары. Можно выбрать одну из таких систем отсчета, назвав ее условно ц-системой. Именно относительно такой системы отсчета рассматривается процесс рассеяния.

Точка, имеющая прицельное расстояние , отклоняется на угол в ц-системе, а точка (имеются в виду -точки) с прицельным расстоянием рассеивается на угол (см. рис. 5.6). Соответственно -точки, прицельные расстояния которых лежат внутри интервала , рассеиваются на углы от до .

Обозначим через число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие между и . Это число будет зависеть от плотности падающего пучка частиц , и поэтому оно неудобно для характеристики процесса рассеяния. Введем

, (12.6)

где - число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка, т. е. плотность потока частиц. Тогда будет иметь размерность площади. Это отношение называют эффективным (дифференциальным) сечением рассеяния. Как видно, оно определяется исключительно видом рассеивающего поля (т. е. видом взаимодействия) и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.

Если связь между и взаимно однозначна (что будет в случае, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния), то в заданный интервал углов между и будут рассеиваться лишь те частицы, которые пролетают внутри кольца между окружностями радиусов и . Тогда , а эффективное сечение рассеяния

. (13.6)

Зависимость эффективного сечения рассеяния от угла рассеяния дается этой же формулой, которую нужно переписать а виде

. (14.6)

В (14.6) входит модуль производной так как она чаще всего бывает отрицательной (почему?).

Эффективное сечение можно отнести к элементу телесного угла , Телесный угол между конусами с углами растворов и есть . Поэтому

. (15.6)

Заметим, что значение угла , фиксирующего плоскость рассеяния какой-нибудь -точки, изменяется в пределах от 0 до .

Для нахождения эффективных сечений в зависимости от углов и в л-системе надо выразить в формуле (15.6) через и согласно формулам (8.6). Если - многозначная функция угла , то, как это видно, следует взять сумму по всем ветвям этой функции. При этом получаются формулы как для сечения рассеяния падающего пучка частиц , так и для частиц первоначально покоившихся .