12.6. Относительное движение

До сих пор мы рассматривали движение материальной точки относительно некоторой выбранной системы отсчета. Результаты, полученные при описании движения твердого тела, позволяют решить вопрос о вычислении скоростей и ускорений материальной точки относительно произвольной подвижной системы отсчета, если задано движение точки в некоторой (лабораторной) системе и известно, как движется подвижная система.

Поскольку системой отсчета называют тело отсчета (твердое тело), связанную с ним систему координат и часы, то предполагая, что время в лабораторной и подвижной системах течет одинаково, нетрудно получить преобразование скоростей и ускорений. Пусть в лабораторной системе ,оси которой определены ортами , движение точкиМзадается радиусом-вектором :

,

а в системе ,направление осей которой определяется ортами, закон движения

.

Движение точки О'относительно системыOXYZпредполагается заданным с помощью радиуса-вектора

,

а ориентация ортов по отношению к лабораторной системе определяется матрицей поворотов:

.

Справедливо равенство

,

или

(21.12)

Скоростью точки относительно выбранной системы отсчета называется вектор, компоненты которого равны производным радиуса-вектора точки в данной системе при фиксированных ортах, т. е. в лабораторной системе вектор скорости определяется уравнением

,

а в движущейся системе скорость точки —

Для вычисления скорости в одной системе, если известна скорость точки в другой системе, продифференцируем соотношение (21.12), учитывая, что :

(22.12)

Последнее слагаемое в правой части равенства удобно представить, вводя орты с помощью транспонированной матрицы:

,

Вводя псевдовектор угловой скорости вращения движущейся системы

,

запишем это слагаемое в виде

(23.12)

С учетом соотношения (23.12) выражение (22.12) можно записать в векторном виде:

. (24.12)

Здесь — относительная скорость (относительно движущейся системы отсчета), а сумма

называется переносной скоростью.

Очевидно, что структура полученной формулы не связана с дифференцированием именно радиуса-вектора. Любой вектор , заданный компонентамипо отношению к лабораторной системе, будет при дифференцировании подчиняться тому же правилу. Действительно, пусть

.

Вычисляя производную при фиксированных ортах , получим

,

или в векторных обозначениях

(25.12).

где введен оператор дифференцирования при постоянных ортах , а— угловая скорость вращения движущейся системы.

Учитывая полученную формулу (25.12), вычислим ускорения точки относительно лабораторной системы при сделанных ранее предположениях:

.

Собирая подобные члены, получим формулу Кориолиса

. (26.12)

Здесь — относительное ускорение, сумма:

называется переносным ускорением, а член, линейный по скорости относительного движения ,называется кориолисовым ускорением. Слагаемое в относительном ускорении, содержащее двойное векторное произведение, называется осестремительным ускорением, так как оно направлено к оси вращения системы отсчета. Раскрывая двойное векторное произведение по известному правилу

и вводя единичный вектор , определяющий направление угловой скорости, двойное векторное произведение можно представить в виде

,

где

определяет расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки.

15