Глава 12 кинематика твердого тела

12.1 Модели твердого тела

Описание движения твердого тела начнем с выбора модели. Как правило, используют две основные модели твердого тела. Во-первых, твердое тело можно рассматривать как дискретную систему N материальных точек и использовать для описания его движения соответствующие методы динамики систем. Другой подход связан с представлением твердого тела как континуума - сплошной среды и использует полевой подход для введения физических величин. В основном в этой главе мы будем использовать первую модель.

Термин "твердое тело" в дальнейшем мы будем применять к телу, движение которого не сопровождается заметными деформациями. Соответствующая дискретная модель в этом случае состоит из точек, расстояния между которыми при движении остаются неизменными. Пусть - радиус-векторi-точки. Твердым телом называется такая система точек, для которой выполняются условия:

Дифференцирование этого соотношения по времени дает:

Откуда следует, что при движении твердого тела проекции скоростей любых двух его точек i иj на направление, задаваемое вектором, соединяющим эти две точки, равны:

. (1.12)

Система N материальных точек, моделирующих движение твердого тела, обладает всего шестью степенями свободы. Действительно, для описания положения одной точки достаточно трех координат. Система из двух точек описывается шестью независмыми координатами, однако дополнительное условие - постоянство расстояния между ними - добавляет уравнение связи и уменьшает число независимых координат до пяти. Система из трех точек в общем случае описывается девятью координатами, однако, три уравнения связи уменьшают число независимых координат до шести. Дальнейшее увеличение точек в системе не увеличивает числа независимых координат, поскольку увеличение числа независимых координат сопровождается соответствующим увеличением числа независимых уравнений связи.

Учитывая, что система отсчета определяется как система координат, связанных с твердым телом, определим число независимых координат, определяющих ориентацию твердого тела по отношению к выбранной (лабораторной) системе. Положение твердого тела можно определить радиус-вектором ,определяющим положение началаO' (полюса) движущейся системы, связанной с твердым телом, и координатами, определяющими его ориентацию, например, углами ориентации ортов системы координат, связанной с твердым телом. Поскольку положение полюса определяется тремя независимыми координатами, то задание ориентации твердого тела требует также трех независмых координат.

Движение твердого тела без изменения его ориентации называется поступательным.

Движение твердого тела, при котором его ориентация изменяется, но некоторая его точка O' остается неподвижной, называется вращением.

Произвольное движение твердого тела можно рассматривать как суперпозицию поступательного движения и вращения.

12.2. Матрица поворотов

Рассмотрим подробнее вращение твердого тела, полагая для простоты, что полюс О' совпадает с началомО лабораторной системы.

Ориентацию твердого тела по отношению к лабораторной системе отсчета будем определять по ориентации ортов трехгранника, связанного с этим телом. Пусть

- орты лабораторной системы,

- орты системы, связанной с твердым телом.

Ориентация каждого орта задается тремя направляющими косинусами

, (2.12)

так что матрица направляющих косинусов является матрицей разложения ортов по ортам:

. (3.12)

Положение твердого тела, задаваемое ориентацией ортов , можно получить поворотом его из начального положения, когда орты, связанные с твердым телом, совпадают с ортамилабораторной системы, поэтому матрица направляющих косинусов называется матрицей поворотов.

Так как при движении твердого тела расстояния между любыми его точками остаются неизменными, то длины векторов и углы между ними остаются неизменными. Три уравнения, выражающие сохранение длин векторов

и три уравнения, выражающие условия ортогональности этих векторов

уменьшают число независимых элементов матрицы поворотов до трех.

Линейное преобразование, сохраняющее ортогональность и длину векторов, в линейной алгебре называется ортогональным. Матрицы, задающие эти преобразования в выбранном базисе, называются ортогональными матрицами. Условие ортогональности базисных векторов при повороте твердого тела удобно записать в тензорной форме

,

где по повторяющимся индексам проводится суммирование. - символ Кронекера.

Если в этом выражении заменить вторую матрицу транспонированной:

,

то условие ортогональности может быть записано в форме произведения матриц

. (4.12)

Но такое равенство определяет матрицу, обратную к данной:

.

Аналогично можно показать, что .

Это означает, что матрица, обратная к ортогональной, совпадает с транспонированной.

Поскольку определители матриц иравны, то из условия ортогональности (4.12) следует, что квадрат определителя ортогональной матрицы равен единице. Действительно,

,

то есть

. (5.12)

Ортогональные преобразования разделяются на два типа. К первому относятся преобразования, описываемые в заданном базисе матрицами с определителем, равным плюс единице. Такие преобразования, называемые собственными, соответствуют поворотам твердого тела. В частности, тождественное преобразование является частным случаем преобразования поворота. Преобразования, описываемые матрицами с определителем, равным минус единице, называются несобственными и являются преобразованиями инверсии. Преобразования инверсии не соответствуют реальным движениям твердого тела и поэтому не рассматриваются в кинематике твердого тела.

Таким образом, любой поворот твердого тела в пространстве может быть описан в заданном базисе ортогональной матрицей, определитель которой равен плюс единице. Справедливо и обратное утверждение: любая ортогональная матрица с определителем, равным плюс единице, описывает в заданном базисе поворот твердого тела.

Примером может служить матрица поворотов на заданный угол вокруг осиOZ:

(6.12)

Поворот твердого тела приводит к изменению положения его точек по отношению к лабораторной системе. Если в начальном состоянии твердого тела положение некоторой его точки Mопределяется радиус-вектором

,

то после поворота ее положение определяется в этой же системе радиус-вектором

.

В системе отсчета, связанной с твердым телом, координаты рассматриваемой точки не изменились, поэтому ее радиус-вектор после поворота можно записать так:

.

Вектор перемещения точки M при повороте твердого тела можно представить в виде:

Проекции вектора перемещения на орты лабораторной системы имеют вид:

, (7.12)

а на орты системы, связанной с твердым телом -

. (8.12)

Перемещение точки Mтвердого тела зависит как от заданного преобразования, так и от ее положения относительно твердого тела. В частности, при любом повороте твердого тела полюсO' остается неподвижным.

Осью вращения твердого тела называется прямая, принадлежащая твердому телу и проходящая через полюс, все точки которой остаются неподвижными при заданном преобразовании поворота. Справедливо следующее утверждение.

Для любого поворота твердого тела существует ось вращения и притом только одна.

Для доказательства рассмотрим поворот твердого тела, заданный в базисе матрицей поворотов. Перемещение точек твердого тела определяется выражением (8.12), из которого следует, что неподвижные (относительно лабораторной системы) точки определяются условием:

.

Но это условие является системой уравнений для определения компонент собственного вектора преобразования поворотас собственным значением, равным единице. Таким образом, собственный вектор преобразованияопределяет ось вращения твердого тела.

Нетривиальные решения данной системы существуют в том случае, когда характеристическое уравнение

имеет действительное решение.

Характеристическое уравнение является кубическим относительно и, следовательно, имеет хотя бы одно действительное решение, поскольку все коэффициенты уравнения - действительные числа. Но преобразование поворота не изменяет длину любого вектора, следовательно, собственное значение этого преобразования - плюс единица. С учетом этого замечания и условия, характеристическое уравнение можно привести к виду:

.

Выражение в квадратных скобках не обращается в нуль для любых преобразований поворота, кроме тождественного. Действительно, любая ортогональная матрица поворота подобна матрице поворотов (6.12), то есть существует базис, в котором матрица преобразования имеет указанный вид /см. например, И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, М. 1966/. Так как сумма диагональных элементов подобных матриц совпадает, то для произвольной матрицы справедливо равенство:

.

Отсюда следует, что квадратное уравнение для при любыхне имеет решений в действительной области. Таким образом, собственное значение матрицы поворотов единственно, а следовательно, собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, задает ось вращения единственным образом.

Доказанное утверждение называется теоремой Эйлера.

Произведение собственных ортогональных матриц является также собственной ортогональной матрицей, которая определяет в заданном базисе поворот твердого тела. Поскольку произведение матриц некоммутативно, то результирующий поворот зависит от порядка, в котором выполняются составляющие его элементарные повороты.

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что преобразование, полученное любой последовательностью заданных поворотов твердого тела, может быть получено с помощью единственного поворота вокруг заданной оси. Ось вращения такого поворота определяется собственным вектором матрицы, равной произведению матриц, описывающих в данном базисе составляющие повороты.