Общее решение уравнения (74.8) имеет вид
.
(77.8)
Далее следует
различать два случая. Если 
,
то
,
(78.8)
и общее решение можно представить в виде
, (79.8)
где 
и 
-
вещественные постоянные. Их можно
выразить через начальные значения 
:
откуда
.
Формулы (78.8), (79.8)
описывают движение, которое называют
затухающими колебаниями. Хотя функция
(79.8) не удовлетворяет условию периодичности
описываемое движение можно рассматривать
как гармонические колебания с
экспоненциально убывающей амплитудой.
Такое движение называют условно-периодическим,
поскольку интервал времени 
между двумя соседними максимумами
отклонения от положения равновесия
является постоянной величиной
, (80.8)
называют условным
периодом.
Заметим, что частота
колебаний 
,
как и в случае собственных колебаний,
определяется только параметрами системы
и не зависит от амплитуды колебаний
(свойство изохронности). За время 
амплитуда колебания уменьшается в 
раз. Показатель экспоненты 
называют логарифмическим декрементом,
так как
.
(81.8)
Если 
,
то оба корня 
вещественны и отрицательны. Общее
решение
(82.8)
всегда вещественно
при вещественных постоянных 
и 
.
Движение в этом случае, характеризующемся
достаточно большим трением, не является
колебательным. Положение равновесия
точка проходит за конечное время не
более одного раза. Движение состоит в
асимптотическом (при 
)
приближении к положению равновесия
независимо от начальных условий. Этот
тип движения называют апериодическим
затуханием.
Наконец, если 
,
характеристическое уравнение имеет
всего один (кратности два) корень 
.
Общее решение в этом случае имеет вид
,
(83.8)
в чем можно убедиться прямой подстановкой (83.8) в (74.8). Движение это не имеет колебательного характера, представляя собой особый случай апериодического затухания.
Пример.
Вынужденные
колебания при наличии трения. Найти
закон движения гармонического осциллятора,
на который действует сила трения 
и вынуждающая сила 
,
если при 
.
Уравнение движения
,
Где . Запишем правую часть как . Частный интеграл ищем в виде , причем . Подставляя решение в уравнение движения, получим
.
Отсюда
,
.
Добавляя к частному
интегралу общее решение однородного
уравнения (мы полагаем, что 
)
,
получим полное решение
Заметим, что при
амплитуда собственных колебаний
асимптотически обратится в нуль и
колебания осциллятора будут происходить
с частотой 
.
Это так называемые установившиеся
колебания.
Решение, удовлетворяющее начальным условиям , имеет вид
Заметим, что
вынужденные колебания отстают по фазе
от вынуждающей силы, так как 
всегда.
1Говоря точнее, здесь мы имеем в виду и
механические системы, лагранжианы
которых явно от времени не зависят, но
допускают структуру
.
Если
,
то под потенциальной энергией системы,
зависящей только от обобщенных координат
,
мы будем понимать величину
,
т. е. член
в функции Лагранжа мы формально
относим к потенциальной энергии. В
связи с последним замечанием см. пример
к п. 7.7
2Более детально с элементами теории устойчивости можно познакомиться в прекрасной работе Д. Р. Меркина «Введение в теорию устойчивости движения» (М.: Наука, 1987).
3Напомним, что
,
вообще говоря, комплексные постоянные.
4Одномерным колебанием называют колебание системы с одной степенью свободы.