8.6. Вынужденные колебания

Если механическую систему поместить в переменное (во времени) внешнее поле, то в ней могут возбудиться вынужденные колебания. Рассмотрим эту задачу на примере одномерного гармонического осциллятора. Потенциальную энергию системы представим в виде

(62.8)

где первый член описывает собственную потенциальную энергию осциллятора, а второй - потенциальную энергию системы во внешнем переменном поле. Предположим, что переменное поле достаточно слабое, так что отклонения от положения равновесия и колебания в целом по-прежнему являются малыми. Если это так, то можно разложить в ряд по степеням малой величины , ограничиваясь двумя первыми членами:

. (63.8)

Учитывая, что - заданная функция времени и потому ее можно опустить в функции Лагранжа, а производная есть «внешняя» сила в положении равновесия системы, функцию Лагранжа гармонического осциллятора в переменном внешнем поле представим в виде

(64.8)

Уравнение Лагранжа, описывающее вынужденные колебания осциллятора, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

. (65.8)

Общее решение этого уравнения, как известно, представляется в виде суммы двух выражений: , где - общее решение однородного уравнения, а - частный интеграл неоднородного уравнения. Заметим, что найдено в предыдущем пункте.

Особый интерес в связи с различными приложениями представляет случай, когда внешняя вынуждающая сила является простой периодической функцией времени частоты :

. (66.8)

Тогда ищется в виде

.

Подставляя (66.8) и это решение в уравнение (65.8) находим амплитуду

(67.8)

Полное решение уравнения (65.8) имеет вид

(68.8)

а постоянные и определяются из начальных условий. Движение осциллятора под действием периодической вынуждающей силы представляет собой сумму двух колебаний с частотами и .

Рассмотрим случай резонанса, когда частоты и совпадают. Для этого перепишем (68.8) в виде

(69.8)

Постоянные и , очевидно, определяются постоянными , а также параметрами, характеризующими переменное поле. пределе , раскрывая неопределенность вида 0/0 во втором члене (69.8), получим

. (70.8)

Видно, что амплитуда колебаний в случае резонанса растет со временем по линейному закону. Заметим, что решение (70.8) применимо лишь на ограниченных отрезках времени, до тех пор, пока колебания являются малыми.

8.7. Затухающие колебания

Рассмотрим движение гармонического осциллятора, когда на него действует обобщенная сила трения вида

. (71.8)

Здесь постоянная , - обобщенная скорость, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя (71.8) в правую часть (53.8), получим

. (72.8)

Разделим (72.8) на и введем обозначения

. (73.8)

Здесь - частота собственных колебаний системы в отсутствие трения, - коэффициент затухания.

Движение осциллятора при наличии силы трения (71.8) описывается однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

. (74.8)

Решение этого уравнения ищем в виде

. (75.8)

Подставляя (75.8) в (74.8), получим характеристическое уравнение

. (76.8)