8.5. Линейные колебания консервативных систем с одной степенью свободы

Примем описанную в 8.2 процедуру построения решений уравнения движения механической системы с одной степенью свободы, т. е. рассмотрим случай .

Если , точка равновесия в конфигурационном пространстве определяется из уравнения

,

причем положение равновесия будет устойчивым, если

. (51.8)

Если условие (51.8) выполняется, то в окрестности точки возникает сила, направленная к точке , которая стремится возвратить систему к точке (рис. 8.8). Вводя координату и обозначая коэффициент в выражении кинетической энергии буквой , представим функцию Лагранжа механической системы в виде

. (52.8)

Здесь мы сохранили, только квадратичные члены, пропорциональные . Система, которая описывается лагранжианом вида (52.8), называется одномерным гармоническим осциллятором. Уравнение движения гармонического осциллятора (уравнение Лагранжа)

. (53.8)

Решение

или

, (54.8)

где постоянные и определяются начальными условиями. Они связаны соотношениями

. (55.8)

Постоянную называют амплитудой, - фазой, - циклической частотой или просто частотой колебаний. Начальная фаза зависит от выбора начала отсчета времени. Частота определяется механическими свойствами системы и не зависит от начальных условий и, в частности, от амплитуды (свойство изохронности). Подчеркнем, что это свойство связано с выбранным приближением квадратичной зависимости потенциальной энергией от координаты. При сохранении членов более высокого порядка малости оно исчезает.

Энергия осциллятора сохраняется, так как явно от времени не зависит. Энергия пропорциональна квадрату амплитуды:

. (56.8)

Амплитуда и фаза выражаются через начальное механическое состояние из соотношений

, (57.8)

откуда

(58.8)

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени удобно представить в виде вещественной части комплексного выражения

, (59.8)

где - комплексная амплитуда, ее модуль равен амплитуде , а аргумент - начальной фазе .

Механическое состояние осциллятора определяется заданием в фазовом пространстве. В случае одномерной системы это фазовая плоскость переменных , рассматриваемых как декартовы координаты. Если начальное состояние осциллятора задано координатами , то изображающая точка с течением времени описывает фазовую траекторию в фазовой плоскости согласно

(60.8)

или в явном виде (рис. 9.8)

. (61.8)

Это уравнение эллипса; его можно также получить из закона сохранения энергии.

Фазовое пространство оказывается весьма удобным для изучения нелинейных колебаний.

Задание начального механического состояния однозначно определяет фазовую траекторию; семейство фазовых траекторий является, очевидно, однопараметрическим, так как они определяются не и порознь, а их комбинацией, образующей :

.

Фазовые траектории между собой не пересекаются. Это следует из однозначности решений уравнений движения по начальным условиям. В данном случае все фазовые траектории являются подобными эллипсами, поскольку отношение их полуосей постоянно и равно .