8.3. Колебания линейных цепочек

Рассмотрим собственные колебания системы частиц, соединенных одинаковыми пружинками жесткости и длины в ненапряженном состоянии, которые могут двигаться по кольцу радиуса (рис. 3.8). Масса каждой из частиц равна . Будем считать, что силы, действующие на частицы со стороны пружинок, пропорциональны удлинению пружинок в первой степени. Заметим, что такая цепочка представляет собой простейшую модель, используемую в теории твердого тела. Функция Лагранжа системы

, (35.8)

где - смещение -ой частицы из положения равновесия: , причем . Из (35.8) получаем уравнения Лагранжа

(36. 8)

при дополнительном условии . Решение удобно искать в виде

. (37.8)

Подставляя в уравнения Лагранжа, получаем уравнение

, (38.8)

которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседних частиц. Решение (37.8) представляет собой бегущую волну с волновым вектором , так как , где - равновесная длина одной пружинки, - координата положения равновесия -ой частицы, отсчитываемая от -ой частицы в одном и том же направлении. Из условия определим возможные значения частот (как говорят, спектр частот):

,

где . Поэтому имеем частот:

. (39.8)

очевидно, частоты и совпадают, а волновые векторы и связаны соотношением

, (40.8)

т.е. волновые векторы отличаются знаком. Одна из собственных частот равна нулю. Все пружины в этом случае ненапряжены, а все частицы движутся по кольцу с постоянной скоростью, т.е. движение представляет трансляцию всей системы как целого. Все возможные решения имеют вид

. (41 .8)

Они описывают бегущие по кольцу волны. Из (40.8) и (41.8) следует, что решения и (с двукратным вырождением частот и ) соответствуют волнам, распространяющимся в разные стороны. В результате наложения таких волн с равными амплитудами получается стоячая волна

(42.8)

которая описывает нормальные колебания:

.

Здесь , причём предполагается, что нечетное. Для четных решение (42.8) при есть стоячая волна, а частота , очевидно, невырожденная.

Для нечетных решение , записанное в нормальной форме, имеет вид

, (43.8)

где - нормальная координата, описывающая «колебание» с нулевой частотой.

Нетрудно показать, что функция Лагранжа (35.8) подстановкой (43.8) диагонализуется:

. (44.8)

Здесь мы воспользовались выражениями известных сумм:

Спектр собственных частот представляет собой совокупность дискретных точек на синусоиде (рис. 4.8). Этот спектр частот называют акустическим. Иногда удобно изображать , как на рис. 5.8.

8.4. Колебания двух связанных математических маятников

Кинетическая энергия системы (рис. 6.8)

.

Потенциальная энергия системы вблизи положения устойчивого равновесия, которое, очевидно, определяется значениями обобщенных координат :

.

Функция Лагранжа

(45.8)

Уравнения Лагранжа

Здесь . Решение ищем в виде .

Уравнения для амплитуд

Характеристическое уравнение

или , откуда

.

Следовательно, собственные частоты колебаний

.

Найдем теперь, алгебраические дополнения . Для этого нужно вычеркнуть в характеристическом детерминанте последнюю строку, -й столбец и умножить оставшийся определитель на . Имеем

(46.8)

Решения

, (47.8)

где - нормальные координаты. Амплитуды простых колебаний и начальные фазы определяются начальными условиями. Покажем, что всегда можно так задать начальные условия, что все координаты будут гармонически изменяться со временем с одной из собственных частот. Пусть . Тогда

Отсюда и решение

.

Пусть теперь . Тогда , , и решение

.

Очевидна роль симметрии начальных условий.

Рассмотрим случай слабой связи . При этом условии имеем , причем . Запишем решение в виде

, (48.8)

где

. (49.8)

Амплитуды медленно изменяются с частотой в пределах . Это явление называют биением. Проиллюстрируем этот эффект при следующих начальных условиях: , . Тогда , и решение

,

.

Амплитуды колебаний являются медленно меняющимися функциями времени, а решения представляют собой гармонические колебания с частотой , но периодически меняющейся амплитудой, период изменения которой . В начальный момент амплитуда первого маятника максимальна (она равна ), а амплитуда второго маятника равна нулю. Затем амплитуда колебаний первого маятника убывает и через время обращается в нуль. Амплитуда колебаний второго маятника - возрастает, достигая максимального значения при . Далее процесс повторяется в обратном порядке, т. е. происходит непрерывный обмен энергией колебаний между маятниками. При амплитуды колебаний маятников в течение одного периода практически неизменны. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период ) значения квадратов обобщенных координат и скоростей для каждого из связанных маятников в отдельности, и в частности, можно определить «средние механические энергии» для каждого маятника согласно формулам

,

,

где , и при дифференцировании по мы положили , а при интегрировании пренебрегли изменением за время . В рассматриваемом случае равенства масс и длин подвесов обмен энергией является полным: маятники настроены в резонанс. Если же маятники не одинаковы, то обмен будет неполным.

Обмена энергией не происходит также в тех случаях, когда каждая координата выражается через одну нормальную координату, так что нет сложения нормальных колебаний.

Приведем выражение для функции Лагранжа в нормальных координатах , связанных с координатами формулами (47.8):

. (50.8)