8.2. Собственные линейные колебания механических систем

Задача о собственных линейных колебаниях механических систем по существу является задачей о движении вблизи устойчивого положения равновесия. В силу доказанных теорем такие движения будут устойчивыми. Выведем уравнения, которыми описываются линейные колебания механических систем с голономными, стационарными связями, предполагая, что внешние силы консервативны и не зависят от времени. Для таких систем . Разложим кинетическую и потенциальную энергии системы в окрестности точки , ограничиваясь членами второго порядка малости по обобщенным координатам и обобщенным скоростям . В результате получаем

, (8.8)

(9.8)

Будем отсчитывать от и учтем, что в положении равновесия все обобщённые силы обращаются в нуль:

. (10.8)

Напомним, что эти уравнения определяют положения равновесия. Введя получим

(11.8)

где

В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия должна обладать изолированным минимумом.

Из линейной алгебры известно, что если коэффициенты удовлетворяют критерию Сильвестра

, (12.8)

то будет определенно-положительной квадратичной формой переменных в окрестности нуля, а значит, имеет изолированный минимум в точке и положение равновесия устойчиво. Заметим, что -определенно-положительная квадратичная форма переменных . Значит, матрицы коэффициентов удовлетворяют условиям

. (13.8)

Построим функцию Лагранжа в окрестности начала координат фазового пространства, т. е. в окрестности точки :

(14.8)

и составим уравнения Лагранжа

. (15.8)

Мы видим, что движение системы с степенями свободы около положения устойчивого равновесия определяется, линейными однородными уравнениями с постоянными вещественными симметричными коэффициентами. Решение системы (15.8), как известно, следует искать в виде

, (16.8)

где - некоторые постоянные.

Подставляя (16.8) в (15.8), получим алгебраическую систему уравнений

. (17.8)

Нетривиальное, т. е. не равное нулю, решение этой системы существует только в том случае, если детерминант алгебраической системы (17.8) равен нулю, т. е.

. (18.8)

Это так называемое характеристическое уравнение, представляющее собой, очевидно, алгебраические уравнение -ой степени относительно . Следовательно, в общем случае, оно имеет различных корней . Корни называют собственными значениями характеристического уравнения.

Предположим, что все корни различны, т. е. что кратных корней нет. Соотношения между постоянными ³ определяются из уравнений

, . (19.8)

Величины иногда называют «амплитудами», принадлежащими собственному значению . Общее решение имеет вид

. (20.8)

Знак реальной части здесь необходим, так как обобщенная координата по определению величина вещественная.

Для механических консервативных систем, на которые наложены стационарные связи, каждый корень должен быть чисто мнимым, так как если бы все не равнялись бы нулю, то и имели бы экспоненциально возрастающие и убывающие со временем множители, что привело бы к нарушению закона сохранения энергии. Таким образом, в этом случае собственные значения характеристического уравнения (18.8) таковы:

. (21.8)

Здесь перенумерованы от 1 до , поскольку каждому номеру соответствует пара комплексно-сопряженных значений корня. Решения (20.8) теперь можно переписать в виде

. (22.8)

Положительные вещественные величины называют собственными частотами системы. Значения коэффициентов соответствующих , определяются с помощью однородной системы.

Пусть, например, какой-то из коэффициентов не равен нулю. Переобозначим номер , присвоив ему индекс , и перенесём все члены в уравнениях (19.8) в правую сторону. В результате однородная система (19.8) станет неоднородной системой уравнений относительно коэффициентов . Ее решение известно из линейной алгебры:

, (23.8)

где - алгебраические дополнение к элементу -го столбца любой строки характеристического детерминанта, взятого при значении . Но так как «амплитуда» не определена, введя , имеем , и

. (24.8)

Здесь - постоянная величина

Так как детерминант (18.8) и все содержат только степени квадрата , которые являются вещественными величинами, то детерминант и все дополнения характеристического детерминанта - вещественные величины, которые удовлетворяют, очевидно, соотношениям

. (25.8)

Введем

. (26.8)

С учетом этого общее решение приобретает вид

, (27.8)

где

. (28.8)

Амплитуда простого гармонического колебания и его начальная фаза определяются начальными условиями, т. е. начальными значениями обобщенных координат и обобщенных скоростей . Отметим три важных свойства собственных линейных колебаний механических систем:

1. Общее решение, описываемое координатой представляет собой наложение гармонических колебаний с собственными частотами системы . Это принцип суперпозиции.

2. Собственные частоты системы не зависят от начальных условий и определяются только механическими свойствами колебательной системы. Это свойство изохронности.

3. Общее решение не содержит функций вида , где -целое число, т. е. не содержит гармоник, кратных собственным частотам системы. Это свойство, как и первое свойство, есть следствие линейности дифференциальных уравнений.

Заметим, что не является периодический функцией в общем случае, в то время как - периодическая функция.

В конфигурационном пространстве в случае несоизмеримых частот «траектория» представляет собой незамкнутую кривую. Если частоты соизмеримы, то «траектория» изображающей точки замкнута.

Мы видим также, что собственные частоты характеризуют движение системы в целом, а не изменение одной какой-то координаты . Однако можно так задать начальные условия, чтобы все координаты гармонически изменялись бы со временем с одной из собственных частот системы. Действительно, амплитуды и начальные фазы определяется начальными условиями. Пусть начальные условия таковы, что все , кроме , равны нулю. Тогда .

В общем случае изменение каждой из координат системы со временем представляет наложение простых периодических колебаний с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты. А можно ли так выбрать обобщенные координаты, чтобы каждая из них совершала только одно гармоническое (простое) колебание?

Путь к решению этой задачи указывают соотношения (27.8). Рассмотрим их как систему уравнений относительно неизвестных величин . Разрешим эту систему, выразив через обобщенные координаты , и выберем величины в качестве новых обобщенных координат. Эти координаты называют нормальными (или главными), а соответствующие им простые гармонические колебания нормальными (главными) колебаниями механической системы. Уравнение Лагранжа в координатах выглядят особенно просто:

. (29.8)

Мы видим, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на независимых уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее зависимости от времени надо знать начальные значения только ее самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы кинематически и динамически.

Очевидно, функция Лагранжа системы, выраженная через нормальные координаты (и скорости) распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию⁴ с одной из собственных частот :

. (30.8)

Отсюда видно, что введение нормальных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм (кинетической и потенциальной энергии) к диагональному (или, как говорят, к каноническому) виду. Для консервативных систем с идеальными голономными связями нормальные координаты можно ввести всегда, так как матрицы коэффициентов и в и таких систем удовлетворяют условиями следующей теоремы:

Если даны, две вещественные симметрические матрицы А и С, причем матрица А определенно-положительная, то существует невырожденная матрица В такая, что обе матрицы с ее помощью преобразуются к диагональному виду.

Нулевая частота. Пусть одна из собственных частот . Соответствующее решение в нормальных координатах тогда имеет вид . С физической точки зрения такое решение возникает, если потенциальная энергия системы достигает минимума не в одной точке конфигурационного пространства, а в некоторой области, т. е. когда потенциальная энергия не имеет изолированного минимума.

Кратные частоты. Общий вид решений и остается таким же (с таким же числом членов) с той лишь разницей, что коэффициенты , соответствующие кратному корню уже не являются алгебраическими дополнениями характеристического детерминанта и должны быть прямо определены из уравнений (19.8). Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковой ) входят в виде одинаково преобразующихся сумм и , то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Пример. Доказать, что для консервативных систем с голономными стационарными связями все корни отрицательны.

Умножим каждое из уравнений

(31.8)

на и сложим все полученные соотношения:

.(32.8)

Подставим в (32.8) вместо и возьмем соответствующие амплитуды . Тогда,

(33.8)

или

.(34.8)

Здесь числитель и знаменатель всегда положительны для вещественных . Это следует из того, что обе однородные квадратичные формы ( и ) является определенно-положительными, т.е. они положительны при всех вещественных значениях обоих аргументов ( и соответственно). В полученной нами формуле стоят именно так составленные квадратичные формы, так как всегда вещественны как определители, все элементы которых вещественны.