Примем далее следующее

Определение Ляпунова. Пусть для сколь угодно малых (заданных наперед) положительных величин можно найти такие положительные величины , что для любого все , если только при, все то невозмущенное состояние движения устойчиво, а положение называют положением устойчивого равновесия.

Следующая теорема Лагранжа определяет достаточные условия равновесия консервативных систем.

Положение равновесия консервативной голономной системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум.

Определение. Минимум потенциальной энергии называют изолированным, если в некоторой окрестности положения равновесия , в которой минимальна, нет других экстремумов. Иначе говоря, минимум будет изолированным, если при

,

причем знак равенства будет, только если все . Заметим, что положительные величины определяют окрестность минимума в конфигурационном пространстве. Теорему Лагранжа впервые доказал Дирихле. Современное доказательство, данное А. М. Ляпуновым, вытекает непосредственно из его так называемого прямого метода². В этом методе основную роль играют некоторые вещественные однозначные и непрерывные функции , определяемые в области

,

где - постоянное положительное число. Начало отсчета выбирается в точке , т. е. предполагается, что . Далее проводится классификация функций . Так, если всюду в области определения или , то функция называется знакопостоянной (положительной, если , или отрицательной, если ). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все равны нулю, то она называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной соответственно). Функции, принимающие значения обоих знаков, называют знакопеременными функциями. Введенные так функции , с помощью которых исследуются проблемы устойчивости движения, называют функциями Ляпунова.

Доказательство теоремы Лагранжа основывается на знаменитой теореме Ляпунова об устойчивости движения. Мы приводим последнюю без доказательства.

Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Примеры.

Функция - определенно положительная (рис. 1.8). Функция - знакопостоянная, так как в нуль она обращается не только в начале координат , но и на прямой (рис. 2.8).

Теперь нетрудно доказать теорему Лагранжа. Отсчитывая от , а от , нетрудно видеть, что в рассматриваемом положении потенциальная энергия равна нулю и имеет изолированный минимум по условию. Это означает, что в некоторой окрестности положения равновесия потенциальная энергия является определенно-положительной функцией переменных а полная энергия

(7.8)

- определенно-положительной функцией обобщенных координат и скоростей. Действительно, кинетическая энергия механической системы с голономными и стационарными связями содержит только форму , которая является определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей. Выберем в качестве функций Ляпунова . Из уравнений Лагранжа (3.8) следует, что т. е. - интеграл движения.

Значит, . Следовательно, эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения, частным случаем которого является устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа доказана.