Глава 8 малые колебания динамических систем с степенями свободы

8.1. Положения равновесия. Устойчивость

При рассмотрении задачи о собственных линейных колебаниях механических систем будем предполагать что:

1. Связи, наложенные на систему, стационарны, голономны, идеальны, а внешние силы от времени не зависят и являются потенциальными¹.

2. Система обладает положением устойчивого равновесия.

Поскольку мы будем рассматривать линейные (малые) колебания, встает задача линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Значит, нужно найти такие положения. С этого и начинается исследование собственных колебаний механической системы. В положении равновесия все обобщенные силы должны быть равны нулю т. е.

. (1.8)

Зная , из (1.8) находим . Если обобщенные силы зависят от и то для нахождения положений равновесия системы нужно в (1.8) подставить значения и решить полученные уравнения относительно .

Мы рассматриваем системы, на точки которой действуют потенциальные силы, поэтому уравнения (1.8) принимают вид

, (2.8)

где - потенциальная энергия системы как функция обобщенных координат. Решения этих уравнений определяют те значения координат, при которых система может находиться в равновесии; этих положений может быть несколько, причем равновесие в некоторых из них может быть устойчивым, а в некоторых - неустойчивым. Устойчивость равновесия удобно рассматривать в фазовом - мерном пространстве (пространство состояний). Механическое состояние в нем представляется в виде точки М -мерного пространства, по осям которого откладываются обобщённые координаты и обобщённые скорости .Точку М называют изображающей точкой.

Так как устойчивость равновесия рассматривается относительно обобщённых координат и скоростей, то уравнения Лагранжа формально удобно переписать в виде системы уравнений 1-го порядка по времени

, . (3.8)

Легко видеть, что (3.8) является системой уравнений 1-го порядка по времени относительно функций и . Уравнениями (3.8) определяется некоторое движение (состояние) системы , , подлежащее исследованию на устойчивость; оно называется невозмущенным движением. Решения и являются частными решениями дифференциальных уравнений (3.8), удовлетворяющими начальным условиям при :

(4 8)

Если теперь изменить начальные условия, придав начальным значениям переменных и небольшие по модулю приращения при ,т.е. переходя к начальным условиям

,

, (5.8)

то соответствующее этим условиям движение называют возмущённым движением, а величины , - возмущениями. Возмущенное движение удобно характеризовать с помощью отклонений, или вариаций, величин:

(6.8)

при этом если все отклонения равны нулю, возмущенное движение и будет совпадать с невозмущенным движением . Мы видим, что невозмущённому движению отвечают нулевые значения переменных и а в фазовом пространстве ему отвечает неподвижная точка .

Заметим, что уравнения (3.8) будут уравнениями возмущённого движения, если считать, что в положении равновесия потенциальная энергия системы равна нулю, а все обобщённые координаты отсчитывать от этого положения, т. е. в формулах (6.8) нужно положить все равными нулю.