16.2. Прямое разделение движений

Метод разделения движений связан с возможностью представления решения в виде суммы

Вообще говоря, такое представление произвольно, и для его реализации необходимо наложить некоторые дополнительные условия. Как правило, эти условия определяются особенностями задачи. В частности, в качестве функции может быть выбрано решение невозмущенной задачи

Если предполагать, что мало, а правая часть уравнений движения допускает разложение по то, ограничиваясь линейными членами при можно существенно упростить исследование движения возмущенной системы. В частности, такой подход может быть использован для анализа устойчивости по линейному приближению.

Чаще метод разделения движений используется в системах, характеризуемых различными временными масштабами. Тогда разделение движения в системе производится на быстрые и медленные. В этом случае определяется из усредненных уравнений. Проиллюстрируем применение метода разделения движений в случае одномерного движения в быстро осциллирующем поле (метод Капицы, 1951 г.)

Пусть частица массы m движется под действием заданной силы , которую можно представить в виде суммы двух членов:

.

Причем характерный масштаб времени для движения под действием силы - , а сила быстро изменяется, так что ее характерный временной масштаб удовлетворяет условию . Пусть для простоты - быстро осциллирующая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

.

Здесь малость параметра , вообще говоря, не предполагается. Положим, что решение уравнения движения частицы представимо в виде суммы

.

Далее потребуем, чтобы при функция удовлетворяла уравнению

.

Действие возмущения существенно меняет характер медленного движения, так что

.

Поскольку представление движения произвольно, наложим дополнительное условие. Будем считать, что решение описывает медленное движение, а - быстрое, так что при усреднении по периоду быстрых колебаний полного решения выполняется условие

т. е. не дает вклада в медленное движение:

Подставляя теперь решение вида (2.16) в уравнение возмущенного движения, получим

Предположим, что в этом случае справедливы разложения

,

.

Это приводит нас к уравнению в линейном по приближении

Усредняя полученное уравнение по времени за период Т₁ быстрого движения, получим уравнение для х:

,

правая часть которого содержит слагаемое, пропорциональное возмущению. Соответственно, для быстрой переменной получаем линейное уравнение

В предположении, что сила, действующая на точку, слабо меняется на характерной длине (амплитуде) быстрых колебаний, т.е.

получим решение для :

что приводит к уравнению для медленной переменной :

.

Так как уравнение для усредненного движения не зависит явно от времени, можно построить эффективную потенциальную энергию

которая содержит вклад от быстро осциллирующей части сил, действующих на точку. Заметим, что уравнение для усредненного движения и эффективная потенциальная энергия не зависит от закона, по которому происходит колебание силы F₁.

 См.: Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

3