Глава 16

Элементы теории возмущений

16.1. Основные понятия теории возмущений

Определение эволюции некоторой динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями с заданными начальными условиями, сводится к решению задачи Коши. (Корректность такой процедуры обеспечивается выполнением условий теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений). В механике решение уравнений движения производится посредством построения первых интегралов, что позволяет в ряде случаев получить полное решение поставленной задачи. Регулярная процедура построения решений в этом случае для канонических систем с помощью уравнения Гамильтона — Якоби рассматривалась в гл. 8.

Задачи, для которых решение уравнений может быть построено указанным методом, мы назвали интегрируемыми. Практически лишь в редких случаях удается найти полный набор первых интегралов. Более того, после работ А. Пуанкаре по исследованию динамических систем стало ясно, что существование интегралов движения является не правилом, а исключением, так что основной случай динамики — неинтегрируемые задачи. Заметим, что результаты Пуанкаре касаются существования однозначных интегралов для всех допустимых начальных условий и параметров механической задачи. Это не исключает

1 возможности существования интегралов для отдельных значений параметров или начальных условий. Таким образом, решение динамической задачи в большинстве случаев связано с необходимостью замены уравнений, описывающих исследуемую неинтегрируемую систему другими, «близкими» к ней, но интегрируемыми, решения которых могут быть легко получены и отличаются от искомых на некоторую величину, которой можно пренебречь в рассматриваемой задаче.

Существует большое число различных приемов и методов решения поставленной задачи, определяемых в конечном итоге как характером изучаемой системы, так и поставленными целями. Мы рассмотрим лишь некоторые простейшие подходы к решению этой задачи.

В основе ряда методов теории возмущений лежит теорема о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра и начальных условий. Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальными уравнениями

, где (1.16)

а — некоторый параметр задачи, зависимость от которого предполагается достаточно гладкой. В начальный момент времени .

Как известно из теории дифференциальных уравнений, если функции вместе со своими производными по непрерывны по всем переменным в некоторой области :

.

то в некотором интервале изменения времени решение начальной задачи непрерывно по и параметру . Если при указанных условиях начальные значения являются параметрами, изменяющимися в некоторой области , то решение задачи будет непрерывным также и по начальным параметрам в некоторой области изменения .^

Мы будем предполагать, что при рассматриваемая система является интегрируемой и решение ее известно. Тогда решение системы, зависящее от параметра при , является возмущенным. Очевидно, что для получения физически содержательного результата необходимо, чтобы выбранная интегрируемая система уравнений — «эталонная» — удовлетворяла некоторым условиям, связанным с физической постановкой задач механики. В частности, следует учесть эти обстоятельства — желательно выбирать интегрируемую эталонную систему грубой.

Начальные условия в задаче Коши принципиально могут быть определены лишь с некоторой точностью, поэтому желательно, чтобы малые ошибки при их определении не приводили к нарастающим отклонениям в законе движения, т. е. система должна быть устойчивой.

При выполнении указанных условий зависимость решений от начальных значений и параметра позволяет строить решение, описывающее возмущенное движение.

Перечислим некоторые из методов решения задач динамики.

Из наиболее простых методов, широко применяемых во многих задачах, назовем метод вариаций постоянных. При нахождении решений этим способом решение невозмущенной задачи представляется в виде , причем при .

Поскольку константы определяются начальными условиями, метод вариации постоянных фактически предполагает, что возмущенное решение может быть получено путем непрерывной «подстройки» начальных условий невозмущенной задачи. Метод вариаций постоянных удобно использовать для определения частного решения линейной неоднородной системы.

Один из эффективных методов решения дифференциальных уравнений динамики с помощью рядов в конце прошлого века был предложен А. Пуанкаре. В основе метода лежит представление решения в виде ряда по параметру возмущения:

,

который с учетом требования аналитичности по параметру позволяет построить решение задачи Коши.

Еще один прием, широко используемый в задачах механики, связан с принципом разделения движений, т. е. с представлением закона движения динамической системы в виде

.

Для линейных систем такое представление может быть использовано, например, для задач о воздействии вынуждающей силы. Тогда — решение однородной системы, a ,—частное решение неоднородного уравнения. Разделение движений эффективно в задачах, где имеются различные характерные временные масштабы, например в предложенном примере воздействия быстро осциллирующей силы на маятник, собственная частота колебаний которого мала. В этом случае функции описывают некоторое усредненное движение, а соответствует быстрым осцилляциям вблизи этого усредненного движения.

Существует еще множество приемов, позволяющих находить решения различных задач. Однако, как правило, при решении задач используется комбинация различных методов. Так, построение рядов Пуанкаре в методе Пуанкаре — фон Цайпеля связано с последовательным интегрированием системы неоднородных уравнений, которые удобно выполнять методом вариаций постоянных. Метод приближенного решения уравнений для слабонелинейного осциллятора Крылова—Боголюбова или метод канонических преобразований в переменных действие — угол, опираются на процедуру усреднения, основанную на методе разделения движений, и т. д.

Широкое использование методов приближенного интегрирования создает иногда впечатление об их универсальности при анализе динамических систем. Следует, однако, помнить, что в большинстве случаев динамические уравнения неинтегрируемы, так что рассмотренные методы могут давать частную информацию лишь о поведении систем в ограниченной области начальных условий и параметров. В других областях параметров требуются совершенно другие подходы. Так, при описании существенно нелинейных неинтегрируемых систем в областях глобальной неустойчивости, аналогичной рассмотренной в гл. 15, целесообразен вероятностный подход, основанный на введении функции распределения в фазовом пространстве. К системам, в которых этот подход может быть применен при некоторых значениях параметров, относятся такие хорошо известные, как математический маятник, на который действует периодическая вынуждающая сила, нелинейные осцилляторы с двумя и более степенями свободы, классическая задача трех тел, электрический заряд в кулоновском поле, на который действует электромагнитная волна, и многие другие.

Все это требует от исследователя четкой постановки задачи и формулировки «желательного» окончательного ответа, а также его формы. Такая формулировка в значительной степени облегчает выбор модели переменных, в которой она описывается, и метода построения результирующей зависимости.