teormeh / CH_09

Здесь - отклонения от положения равновесия. Используя полученные ранее результаты, введем нормальные координаты , соответствующую синфазным колебаниям с частотой и , описывающую противофазные колебания, частота которых . Введенные координаты, диагонализующие полную энергию

, где ,

приводят к системе уравнений

(11.9)

где .

Если система симметрична, т. е. , то и уравнения расцепляются. Решение в этом случае имеет вид

Асимметрия системы приводит к появлению перекрестных членов в уравнениях движения, так что в общем случае анализ становится довольно сложным. Для выяснения качественной стороны можно ограничиться случаем малого затухания. Предположим, что , так что решение системы можно получить методом итераций. Предполагаем, что решение такой системы представимо в виде

где - малые поправки. Подставляя соотношения (12.9) в уравнения (11.9), в первом порядке по получим уравнения для определения и :

Каждое из этих уравнений описывает вынужденные колебания под действием вынуждающей силы, которая пропорциональна соответствующей моде нормальных колебаний. Установившиеся колебания в системе:

Таким образом, влияние слабых диссипативных сил приводит к затуханию колебаний в каждой моде по экспоненциальному закону. В первом приближении в каждой моде колебаний появляются колебания с частотами, соответствующими и другим модам , причем амплитуда этих колебаний пропорциональна коэффициенту :

Этот вывод легко обобщается на случай произвольного числа свободы. Пусть диссипативная функция Рэлея задается матрицей коэффициентов ,

где - нормальные координаты системы без затухания. При учете диссипативных сил в общем случае система уравнений принимает вид

. (13.9)

Полагая, как раньше, , используем метод итераций для решения уравнений, полагая, что решения представимы в виде

Ограничимся линейными по членами. Подставляя это решение в уравнения системы (13.9), получим уравнения для определения :

Мы выделили в сумме член с и перенесли его в левую часть уравнения, чтобы исключить резонансные решения вида , появление которых вызвано сделанными приближениями. С учетом сделанных замечаний решение имеет вид

и описывает затухающие колебания в каждой моде.

Несколько сложнее обстоит дело с системами, в которых имеются гироскопические силы. Вновь рассмотрим движение заряда в однородном магнитном поле, учитывая теперь диссипативные силы. Уравнения движения будут иметь вид

Здесь - ларморовская частота, , а - затухание. Действие диссипативных сил приводит к изменению собственных частот системы, так что

В случае малого затухания частоты системы удобно представлять в виде:

Мнимая часть частот положительна для любой моды при любых , так что действие диссипативных сил () всегда приводит к затуханию колебаний.

Для системы с неустойчивым положением равновесия при решения характеристического уравнения получаются заменой :

В режиме гироскопической стабилизации, когда , в системе без диссипации возможны колебательные решения, соответствующие финитному движению. Однако даже малое затухание () разрушает режим стабилизации, поскольку решение, содержащее , экспоненциально нарастает. Рост амплитуды колебаний в этой моде сопровождается уменьшением энергии, так как

и .

Этот вывод, полученный при анализе простой модели, относится ко всем системам в режиме гироскопической стабилизации.

14