14.3. Локальная линеаризация и переменные «действие — угол»

Мы определили нелинейные колебания как финитное движение, описываемое нелинейными уравнениями. Основными характерными свойствами таких колебаний, в отличие от линейных, являются следующие:

1) нелинейные колебания являются неизохронными, т. е. период колебаний зависит от начальных условий;

2) колебания являются негармоническими, т. е. закон движения точки не является зависимостью вида . При исследовании нелинейных колебаний негармонический характер их сильно усложняет описание. В частности, по­строение теории возмущений в виде асимптотических рядов, рассмотренное в п. 14.1, удобно проводить, если невозмущен­ное движение — гармонические колебания, описываемые линей­ными дифференциальными уравнениями. В случае консервативных одномерных систем удобно бывает провести замену переменных так, чтобы в новых координатах движение было гармоническим.

Предположим, что. область возможного движения при некоторых значениях ограничена, ,причем время достижения особых точек конечно. В этом случае в системе существуют колебания, а закон движения определяется интегра­лом (1.14).

Период колебаний — минимальное время возврата системы в исходное состояние — определяется выражением

(25.14)

Здесь использовано обозначение контурного интеграла в смыс­ле интегрирования по обеим ветвям уравнения (1.14) в зависимости от направления движения. Основная частота колеба­ний . Отметим, что мы рассматриваем существенно нелинейные колебания, так что частота колебаний зависит от энергии

Определим фазу , линейно растущую со временем:

(26.14)

и введем новую переменную q,которая будет периодической функцией времени с периодомТ,и изменяется по гармоническому закону: .В этом выражении —некоторый параметр—амплитуда колебаний. Обобщенная скорость, соответствующая выбранной координате, определяется дифференцированием

,

что приводит к интегралу энергии в новых переменных

. (27.14)

Мы построили гармоническую переменную, вводя промежуточные переменные и—амплитуду и фазу колебании. В ряде задач эти переменные, удовлетворяющие системе уравнений первого порядка, оказываются удобными. Однако эти переменные не являются каноническими. Нетрудно ввести пару кано­нически сопряженных переменных, вместо амплитуды вводя переменную—действие,—зависящую от амплитуды. Так как для гармонических колебаний энергия (27.14) зависит только от амплитуды колебаний, а не от фазы, функция Гамильтоназависит лишь от действия

,.

Выполняя дифференцирование

,

получим связь между амплитудой и новой переменной:

.

Канонические уравнения в новых переменных действие—угол имеют вид

,,

откуда следует, что , а зависимостьот энергии системы позволяет определить переменную / из первого уравнения непосредственно, не обращаясь к промежуточным выкладкам:

. (28.14)

При этом предполагается, что не обращается в нуль Подставляя

и интегрируя выражение (30.14) по параметру ,получим зависимость

,

где —импульс, сопряженный координатех.Выражая отсюда,мы получим гамильтониан системы в переменных действие—угол. Частота основных колебаний определяется теперь дифференцированием.

Таким образом, использование переменных действие—угол позволяет ввести обобщенные координаты такие, что для любых финитных движений системы с некоторым периодомТколебания в этих переменных будут гармоническими (но не изохронными). Это свойство переменных привело к широкому использованию их в теории.

В качестве примера построим «гармонические» координаты для математического маятника, совершающего большие колебания. Пусть энергия маятника , где . Из интеграла энергии (9.14) определим амплитуду колебаний:

.

Вводя , получим. Период колебаний математического маятника в этом случае вычислен нами:

.

Это выражение позволяет определить переменную :

.

Значение константы можно вычислить, используя выражение при:

,

где

.

Таким образом, для перехода к переменным, изменяющимся по гармоническому закону, достаточно ввести амплитуду

, где,

а частота колебаний

.

Переменная является искомой переменной.

Приведенные рассуждения показывают, что основным критерием нелинейности системы выступает неизохронность колебаний, т. е. зависимость периода или частоты от начальных условий. В дальнейшем будем называть колебания нелинейными, если они являются неизохронными в канонических переменных во всей области возможных начальных условий.

12