14.2. Движение системы вблизи положения неустойчивого равновесия

Исследуем подробнее движение динамической системы в окрестности положения неустойчивого равновесия. Для упрощения вычислений рассмотрим материальную точку (частицу) массы m, движущуюся вдоль осиOX инерциальной системы отсчета под действием только потенциальных сил, не зависящих явно от времени. Выберем начало координат так, чтобы оно совпадало с положением неустойчивого равновесия и положим. Будем считать, что в окрестности положения неустойчивого равновесия существует такая область измененияx, в которойпотенциальная энергия может быть аппроксимирована квадратичной функцией, где- характеристика системы. Закон движения в этом случае нетрудно определить, например, из интеграла энергии:

. (14.14)

Явное выражение для закона движения зависит от начального состояния частицы.

Для случая движение возможно всюду в рассматриваемой области. Положим, что причастица находилась в точке равновесия, причем. Квадратура в этом случае элементарно вычисляется:

, где, а.

Явная зависимость координаты точки от времени имеет вид:

. (15.14)

Здесь - параметр размерности длины, определяемый энергией точки.

При область возможного движения ограничена условием:. Полагая, что в начальный момент временичастица находится в областина границе области возможного движения:, и вычисляя квадратуру, запишем закон движения в явном виде:

. (16.14)

В этом случае частица движется в положительном направлении оси OX.

Значение энергии является граничным. Оно разделяет рассмотренные выше случаи и поэтому называется сепаратрисным. Поскольку несобственный интеграл в точкерасходится, эта точка является недостижимой за конечное время. Закон движения в области для случаяимеет вид:

. (17.14)

Константа интегрирования здесь определяется положением точки в начальный момент времени .

Таким образом, в зависимости от значения полной энергии частицы, движение в окрестности положения неустойчивого равновесия существенно различно. Однако, при достаточно больших временах движения (по сравнению с характерным временем системы), когда выполняется условие , функциональная зависимость координаты частицы от времени для всех трех случаев одинакова. Все три выражения можно сделать асимптотически совпадающими подходящим выбором константы интегрирования. В последнем случае, выбирая константу в виде

. (18.14)

При таком выборе начального положения частицы время ее движения во всех трех случаях асимптотически одинаково.

Этим обстоятельством можно воспользоваться для приближенного вычисления времени движения частицы из указанного начального положения в произвольном поле , имеющем локальный максимум при. Пусть частица имеет энергию , близкую к сепаратрисному значанию . Положим для определенности, где, и будем считать, что квадратура привыражается в элементарных функциях. Пусть в начальный момент частица находится вблизи положения равновесия, например на границе области возможного движения

.

В окрестности локального максимума потенциальная энергия может быть аппроксимирована с заданной точностью лишь квадратичными членами:

.

Если полная энергия частицы мало отличается от сепаратрисного знгачения, то частица, начавшая движение из точки , в течение достаточно большого времени (по сравнению с характерным временем системы) останется в рассматриваемой области. В этом случае время движения можно приближенно вычислять с помощью интеграла (14.14), полагаяи заменив при этом нижний предел интегрирования:

. (19.14)

Этот прием, основанный на совпадении асимптотического поведения решения при при больших временахи сепаратрисного решения вблизи точки неустойчивого равновесия называется методом сшивания.

Метод сшивания решений можно использовать, например, для вычисления периода больших колебаний математического маятника, когда амплитуда его колебаний лишь немного меньше . Пусть, а полная энергия меньше сепаратрисной. Период колебаний маятника определяется выражением:

,

где амплитуда колебаний ограничена областью возможного движения:

.

При амплитуда колебаний. Применяя рассмотренный выше метод, получим для оценки периода больших колебаний:

,

где .

Выполняя интегрирование, получим:

. (20.14)

Зависимость периода колебаний математического маятника от энергии для любых ее значений можно получить, вычисляя интеграл

, (21.14)

который заменой переменных —сводится к эллиптическому

, (22.14)

где ,— амплитуда колебаний, а

—полный эллиптический интеграл первого рода. Зависимость периода движений математического маятника от энергии представлена на рис. 3.14. Полученные нами выражения соответствуют первым членам разложения эллиптического интеграла по амплитуде при малых и большихзначениях. Область энергии на рис. 3.14 соответствует колебаниям, а при происходит вращение. В этом случаеТ —период вращения.

В области сильной нелинейности спектр колебаний маятника богат гармониками основной частоты. В пределе спектр становится непрерывным, что соответствует асимптотически медленному движению. В этом предельном случае вычисление спектра особенно просто. Вычислим для примера спектр скорости маятника:

. (23.14)

Соответственно спектр колебаний угла имеет вид

. (24.14)

В случае колебаний с периодом коэффициентыфурье-гармоник четной функцииприближенно описываются формулой

Характер спектра скорости в этом случае представлен на рис. 4.14. Спектр является дискретным с шириной между линиями . При.