11.8. Теорема нетер

Теорема Нетер играет фундаментальную роль в современной теоретической физике. Она доказывает существование общей связи между преобразованиями, которые оставляют действие системы инвариантным, и законами сохранения. Теорема Нетер в явном виде устанавливает эту связь и позволяет построить соответствующие динамические инварианты.

Теорема Нетер. Всякому непрерывному обратимому преобразованию координат и времени (зависящему от постоянных параметров), оставляющему неизменной (т. е. инвариантной) функцию действия рассматриваемой гамильтоновой системы, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Первый интеграл уравнений Лагранжа называется динамическим инвариантом.

Теорему Нетер можно закончить другим (вполне эквивалентным) утверждением: «...соответствует некоторая теорема сохранения и константа движения».

Любое непрерывное преобразование имеет инфинитезимальное (т. е. бесконечно малое) преобразование. Совершим бесконечно малое преобразование координат и времени (временную переменную t здесь мы рассматриваем как координату):

(77.11)

(78.11)

Очевидно, если параметр , то преобразование (77.11), (78.11) переходит в тождественное.

Рассмотрим реальное движение системы в нештрихованных переменных: . В штрихованных переменных в силу инвариантности действия

реальное движение системы происходит по закону

Выразим закон движения системы в переменных , ограничиваясь членами порядка :

или

где

При таком преобразовании (имеется в виду преобразование (77.11), (78.11)) траектория системы в конфигурационном пространстве (линия АВ) меняется (рис. 3.11). В результате изменения координат и времени начала и конца движения переход от траектории АВ в траектории A'B' приводит к изменению действия. Нетрудно найти это изменение в явном виде:

(79.11)

Введем понятие функции действия

(80.11)

предполагая, что в (80.11) вместо подставляются решения канонических уравнений, т.е. функции и их производные. Определенная таким образом функция дей­ствия является функцией времени и начальных условий. Аргументами функции действия могут быть также координаты , время , а также начальные положения и начальный момент времени . Действительно, предполагая, что

и выражая начальные импульсы через и , получим

Подставляя эти функции в (80.11), находим

Вычислим вариацию при фиксированных моментах времени и , используя определение (80.11) :

(81.11)

Если между измененными начальным и конечным положениями система движется по реальной траектории, то коэффициенты при каждой вариации в подынтегральном выражении будут равны нулю, и мы получаем

(82.11)

Отсюда следует, что

(83.11)

Нетрудно показать, что функция действия удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Действительно, дифференцируя (80.11) по времени, находим

(84.11)

С другой стороны,

(85.11)

Поэтому

(86.11)

и

(87.11)

Из (87.11) и (80.11) следует, что

(88.11)

Теперь можно завершить доказательство теоремы. Так как согласно условию , то из (79.11) с учетом (83.11) и (88.11) получаем

(89.11)

Равенство (89.11) можно переписать по-иному:

Теорема Нетер дает единый вывод законов сохранения. Действительно, полагая (однородный сдвиг по времени), получаем сохранение гамильтониана, т. е. энергии системы. Если при при , то , т. е. сохраняется обобщенный импульс.

Рассмотрим механическую систему, которая в некоторой инерциальной системе отсчета описывается лагранжианом

Здесь в качестве обобщенных переменных выбраны обычные координаты и импульсы, а гамильтониан совпадает с полной механической энергией системы N частиц. Поэтому инвариантность действия относительно преобразования при всех приводит к сохранению полной энергии системы

.

В этой инвариантности проявляется свойство пространства - времени: однородность времени.

Рассмотрим преобразование радиусов-векторов точек системы

. (90.11)

Сумму в выражении (89.11), очевидно, можно записать в виде сумм скалярных произведений трехмерных векторов и :

.

Выбирая все векторы одинаковыми, а их декартовы компоненты равными соответственно

,

получим из (89.11) закон сохранения полного импульса системы:

. (91.11)

Инвариантность действия относительно преобразования (90.11) связана с важным свойством пространства – его однородностью.

Рассмотрим теперь преобразование координат, описывающее бесконечно малый поворот системы. Преобразование радиуса-вектора каждой точки системы имеет вид

, (92.11)

где - вектор бесконечно малого поворота. Роль в этом случае играет вектор . Подставив в (89.11), получим

. (93.11)

Отсюда следует закон сохранения полного момента импульса системы

.

Инвариантность действия относительно преобразования (92.11) обусловлена изотропностью пространства, т. е. отсутствием в нем каких-либо выделенных направлений.

Важное значение теоремы Нетер состоит в том, что аналогичная теорема может быть сформулирована для любой гамильтоновой (или лагранжевой) системы и не только в классической механике. Теорема Нетер сформулирована и доказана в теории поля, где она играет еще более фундаментальную роль.

1Известно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим интегралом уравнения.

23