11.3. Теорема якоби
Функции
,
полученные
из соотношений
являются
решениями канонических уравнений;
-
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Докажем эту теорему. Продифференцируем
по времени
(13.11)
Подставим
решение 
в уравнение Гамильтона-Якоби и
продифференцируем его по 
:
(14.11)
Мы
учли, что производные 
,
содержащие постоянные 
,
стоят в гамильтониане 
на местах
импульсов 
.
Уравнения
(13.11) образуют систему 
алгебраических неоднородных уравнений,
из которых можно найти 
.
Определитель
этой системы равен функциональному
определителю
который
не равен нулю в силу независимости 
в полном
интеграле
.
Аналогичную
систему с теми же коэффициентами образуют
уравнения (14.11) относительно 
.
Значит,
т. е. мы приходим к первой группе канонических уравнений.
Чтобы
получить вторую группу канонических
уравнений, продифференцируем соотношения
по 
:
(15.11)
Далее продифференцируем
по
:
(16.11)
Сравнивая (15.11) и (16.11), получаем
Мы получили вторую группу канонических уравнений. Теорема Якоби доказана. Справедлива также обратная теорема:
Из решений системы канонических уравнений
можно
составить полный интеграл уравнения
Гамильтона- Якоби 
.
11.4. Консервативная система
Рассмотрим
консервативную систему, когда 
.
В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби
явно времени не содержит, а зависимость
от времени,
очевидно, сводится к слагаемому – 
:
(17.11)
Функцию
называют также действием, функцию 
,
зависящую
только от координат, называют укороченным
действием.
Подставляя (17.11) в (8.11), получим уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия в виде
(18.11)
11.5. Метод разделения переменных
Предположим,
что координата 
и соответствующая
производная 
входят в уравнение Гамильтона-Якоби
только в виде какой-то комбинации 
,
которая не содержит никаких других
координат, производных 
и
времени, т. е. допустим, что уравнение в
частных производных имеет следующую
структуру:
(19.11)
Ищем решение (19.11) в виде суммы
(20.11)
Подставив это выражение в (19.11), получим
(21.11)
Но поскольку (20.11) есть решение (19.11), то очевидно уравнение (21.11) распадается на два уравнения:
(22.11)
(23.11)
где
- произвольная
постоянная.
Уравнение
(22.11) является обыкновенным дифференциальным
уравнением, из которого функцию 
можно найти
простым интегрированием. После такого
разделения мы получим уравнение в
частных производных (23.11) с меньшим (на
одну) числом независимых переменных.
В
ряде случаев разделение переменных
можно произвести полностью. Если это
возможно и механическая система
консервативна, то нахождение полного
интеграла уравнения Гамильтона-Якоби
целиком сводится к квадратурам. Для
консервативной системы с 
степенями свободы искомый полный
интеграл представляется в виде
(24.11)
где
каждая из функции 
зависит лишь
от одной координаты 
,
а 
как функция произвольных постоянных
получается в результате подстановки 
в уравнение (18.11). Заметим, что 
можно выбрать также в качестве одной
из постоянных 
.
Метод разделения переменных включает
в себя как частный случай циклической
координаты.
Пусть,
например, 
- циклическая
координата. Тогда, очевидно, уравнение
(22.11) приобретает вид
(25.11)
и
его решение находится тривиальным
интегрированием 
.
Легко видеть,
что постоянная 
имеет смысл
сохраняющегося обобщённого импульса,
сопряженного координате 
.
Отметим, что
отделение времени фактически соответствует
методу разделения переменных, когда
роль циклической переменной играет
.
Пример.
Частица массы
т в однородном и постоянном гравитационном
поле напряжённости
.
Гамильтониан системы запишем в декартовой системе координат
Уравнение Гамильтона - Якоби
(26.11)
Решение (26.11) ищем в виде
(27.11)
Здесь
мы положили 
.
Подставляя (27.11) в (26.11), получим
(28.11)
откуда
(29.11)
и
(30.11)
Выражение
(30.11) представляет собой полный интеграл
уравнения (26.11). Производные S по 
приравняем
новым постоянным:
(31.11)
(32.11)
(33.11)
Вычислим неопределенный интеграл
и результат подставим в (31.11), (32.11), (33.11):
(34.11)
(35.11)
(36.11)
Из
(34.11), (35.11) следует, что траекторией
частицы является парабола; уравнением
(36.11) определяется закон движения
.
Сохраняющиеся
компоненты импульса
найдем из соотношений
Компоненту
импульса 
можно найти
как функцию 
из соотношения
