Глава 11 метод гамильтона – якоби

11.1. Групповые свойства канонических преобразований

Канонические преобразования обладают групповыми свойствами, т. е. переход от переменных к переменным можно осуществить следующими способами. Пусть, например, преобразования генерируются производящей функцией . Рассмотрим двухэтапный переход от к, который осуществляется функциями и . Тогда на первом этапе

(1.11)

а на втором

(2.11)

Из (1.11) и (2.11) следует, что переход можно осуществить сразу с помощью производящей функции так как и

(3.11)

Таким образом, канонические преобразования обладают групповыми свойствами. Это наводит на мысль попытаться найти такое каноническое преобразование, с помощью которого можно было бы совершить переход от к и от к . Если бы удалось найти способ построения производящей функции такого преобразования, то по формулам, связывающим старые и новые переменные, мы нашли бы канонические переменные как функции

что, очевидно, эквивалентно интегрированию уравнений Гамильтона, т. е. полному решению основной задачи механики гамильтоновым методом. Вопрос можно сформулировать так: Найти каноническое преобразование, проведение которого сведёт задачу интегрирования канонических уравнений к тривиальной.

11.2. Уравнение гамильтона - якоби

Самый простой способ решения сформулированной задачи состоит в том, чтобы «новый» (преобразованный) гамильтониан сделать равным нулю. Тогда канонические уравнения в новых переменных становятся тривиальными:

(4.11)

и, действительно, и будут постоянными. Но при этом должен быть связан с формулой

(5.11)

где - производящая функция канонического преобразования.

Следовательно, (5.11) есть уравнение для производящей функции преобразования. Выбирают . Но так как гамильтониан зависит от «старых» переменных , а - от «старых» и «новых» переменных, нужно выразить через те же, что и входящие в функцию переменные, используя уравнения преобразования

(6.11)

Подставив (6.11) в , получим дифференциальное уравнение в частных производных, которым определяется как функция координат и времени:

(7.11)

Одно из решений этого уравнения обозначают буквой . Гамильтон назвал это решение главной функцией. Уравнение, определяющее эту функцию,

(8.11)

называется уравнением Гамильтона - Якоби.

Обсудим вопрос о функции более подробно. Прежде всего, так как является решением (8.11), ясно, что функция зависит от , в то время как нам нужно знать и характер зависимости от «новых» импульсов . С другой стороны, о них мы знаем, что они должны быть постоянными. И тому и другому можно удовлетворить, если в качестве выбрать так называемый полный интеграл уравнения (8.11).

Определение. Полным интегралом уравнения первого порядка

называют функцию , удовлетворяющую этому уравнению и содержащую столько независимых постоянных сколько в этом уравнении независимых переменных

В нашем случае независимыми переменными являются и обобщённых координат , поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби будет содержать постоянную. Одна из этих постоянных, скажем, аддитивная, так как в силу того, что уравнение (8.11) содержит только производные от функции , но не саму функцию, если есть решение уравнения (8.11), то и - решение этого уравнения¹.

Вспомним теперь, что полный интеграл нам нужен в качестве производящей функции канонического преобразования, а в формулы преобразования входит не сама функция , а ее производные и . Поэтому аддитивная постоянная несущественна, а полный интеграл уравнения (8.11) можно записать в виде

(9.11)

причём теперь ни одна из постоянных не является аддитивной. Если принять за «новые» переменные , то в точности будет соответствовать по их зависимости от одних и тех же аргументов. Поэтому можно положить .

Заметим, что можно выразить через значения координат и импульсов в начальный момент времени , как и должно быть по самому смыслу преобразований. Итак, если мы нашли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби , то, используя его как производящую функцию канонического преобразования, получим первую группу уравнений преобразования:

(10.11)

Полагая в этих формулах , найдем как функции . Следовательно, определяются заданными начальными условиями.

Вторая группа уравнений преобразования есть по существу преобразование к новым (постоянным) координатам

(11.11)

«Новые» координаты мы обозначаем буквой . Постоянные можно выразить через начальные значения , полагая в (11.11) . Если же (11.11) разрешить относительно , то мы получим

(12.11)

Сформулируем общий алгоритм нахождения решений канонических уравнений методом Гамильтона - Якоби.

1. Получить полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (8.11), т. е. найти решение этого уравнения, содержащее существенных постоянных

2. Приравнять частные производные по этим постоянным интегрирования новым постоянным:

3. Разрешая эти уравнения относительно координаты , записать их в форме

Эти процедуры приводят к полному решению задачи интегрирования канонических уравнений, так как в итоге мы получаем в виде явных функций и постоянных интегрирования, которые могут быть выбраны в соответствии с начальными условиями.

4. Зависимость «старых» импульсов от времени можно найти из соотношений .

Итак, с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби осуществляется переход к постоянным координатам и импульсам . Решение уравнения Гамильтона-Якоби эквивалентно решению рассматриваемой нами задачи интегрирования системы канонических уравнений. С точки зрения математики это известное соответствие между уравнением первого порядка в частных производных и системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно известно, что каждому уравнению в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.