15.1. Фазовое пространство динамической системы

Уточним прежде некоторые понятия, которыми мы пользовались ранее. Как известно, состояние механической системы с пстепенями свободы полностью определяется заданием в каждый момент времени 2ппеременных, например координат и скоростей точек системы

.

Предполагается, что взаимодействие тел рассматриваемой механической системы между собой и с другими (внешними) телами происходит так, что если известно состояние системы в некоторый момент времени ,то при заданном законе движения внешних тел эволюция системы однозначно определяется начальными условиями. Система, эволюция которой однозначно определена начальным состоянием, называется динамической.

Множество всех возможных состояний системы образует фазовое пространство. В частности, фазовое пространство системы может быть пространством координат и скоростей. Для механической системы с пстепенями свободы фазовое пространство 2n-мерно.

В некоторых случаях, когда описание движения удобнее проводить с помощью канонических уравнений, фазовое пространство строится как пространство координат и импульсов:

.

Для одномерных систем фазовое пространство является двумерным и во многих случаях представляет собой фазовую плоскость. В общем случае геометрические свойства фазового пространства порождаются свойствами динамической системы.

Различают локальные и глобальные свойства. Если в некоторый момент времени координаты и импульсы, определяющие состояние некоторой системы, мало отличаются от координат и .импульсов, определяющих другое состояние системы, такие состояния называют близкими. Для определения близости точек фазового пространства вводят понятие расстояния между точками, определяя метрику пространства. Обычно для этой цели используют метрику евклидова пространства. Напомним, что пространство конфигураций, образуемое обобщенными координатами и используемое для описания движения систем с голономными связями в методе Лагранжа, оказывается римановым. Введение расстояния в фазовом пространстве позволяет определить фазовый объем, который часто используется при исследовании поведения канонических систем.

Глобальные геометрические свойства фазового пространства, определяемые динамической системой, формируют определенную топологию. Так, при описании движения математического маятника в качестве обобщенной координаты обычно используют угол отклонения стержня от положения равновесия. Поскольку точки иописывают одно и то же положение маятника, точки фазового пространстваидолжны быть отождествлены, т. е. фазовое пространство математического маятника — цилиндр.

Изменение состояния механической системы с течением времени называется движением. Пусть при состояние системы определено точкойфазового пространства, а при — точкой .Назовем расширенным фазовым пространством или пространством состояний пространство, точки которого определяются координатами .Оператор, переводящий точки расширенного фазового пространствав точки

, где .

задает движение системы. Этот оператор называется оператором эволюции.

Поскольку точку можно рассматривать как начальную точку, для того чтобы определить движение в точке.

, где ,

то операторы, определяющие отображение точек пространства состояний, образуют однопараметрическую группу, так как выполняются следующие соотношения:

,

,.

Для механических систем классической физики переход от одного состояния к другому осуществляется через непрерывную последовательность состояний, образующих в фазовом пространстве некоторую кривую — фазовую траекторию:

.

В некоторых случаях, например при изучении движения точки под действием периодической силы, бывает удобно фиксировать состояние системы в определенные моменты времени. Оператор эволюции в этом случае задает лишь дискретное отображение точек фазового пространства — отображение Пуанкаре. В этом случае фазовая траектория отсутствует.

Если оператор эволюции динамической системы определен для всех моментов времени и определяет непрерывное отображение, то такая система называется потоком. Если оператор эволюции системы определен для дискретного множества значений времени, то она называется каскадом.

Для систем, динамика которых описывается с помощью непрерывного оператора эволюции, можно ввести фазовую скорость. Фазовой скоростью , называют вектор, определяемый соотношением

.

Векторы фазовой скорости образуют в каждой точке фазового пространства линейное пространство, называемое касательным:

.

Рассматриваемые динамические системы можно задавать с помощью дифференциальных уравнений

(1.15)

В частности, это может быть каноническая система.

Система дифференциальных уравнений описывает динамическую систему, если начальные условия однозначно определяют эволюцию, т. е. выполняются условия теоремы существования и единственности решения уравнений.

Если функции непрерывны в некоторой области фазового пространства и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным:

,

где —константа, не зависящая оти,то начальные условия определяют единственное решение на интервале. Таким образом, решение уравнений (1.15) с заданными начальными условиями определяет интегральную кривую в расширенном фазовом пространстве. При этом интегральные кривые не могут пересекаться, если выполнены условия теоремы.

Точка пространства состояний называется особой, если в ней возможно пересечение интегральных кривых. Заметим, что нарушение условий теоремы существования и единственности не обязательно указывает на существование особой точки.

Построение оператора эволюции для системы, описываемой Дифференциальными уравнениями, сводится к отысканию решений этих уравнений при заданных начальных условиях, т. е. решению задачи Коши. Хотя выполнение условий теоремы существования и единственности и гарантирует существование этого решения, практическое получение его и исследование свойств представляют, как правило, весьма сложную задачу.