Глава 15

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ

Важную роль при решении задач динамики играет качественный анализ, который позволяет изучить общую картину движения и наметить подходы для решения уравнений, используя подходящие для данной задачи методы, аналитические или численные. В простейшем случае одномерной консервативной динамической системы качественный анализ может быть проведен с помощью интеграла энергии, как показано в гл. 3. Это исследование позволяет установить область допустимого изменения обобщенной координаты (область возможных движений), определить «особые точки», в которых скорость обращается в нуль, и оценить время достижения таких точек. С помощью качественного исследования можно определить число и положение точек равновесия системы и установить характер равновесия (устойчивое или неустойчивое). Знание этих характеристик системы позволяет исследовать движение вблизи точек равновесия, как это рассмотрено в гл. 3, а также построить приближенное описание, например асимптотическую теорию возмущений. Выбор подходящего способа такого описания движения существенно зависит от характера и расположения особых точек и начальных условий, определяемых константой интегрирования — энергией системы. Конкретные примеры построения теории возмущений в зависимости от характера и расположения особых точек и начальных условий рассматривались в гл. 14.

Кроме того, качественное исследование позволяет установить зависимость структуры фазового пространства динамической системы, т. е. числа, расположения и типа особых точек от параметров задачи. Примером такого исследования является анализ состояния равновесия центробежного регулятора в зависимости от угловой скорости вращения, проведенный в гл. 15. Аналогичным образом можно исследовать движение консервативных систем с двумя и более степенями свободы, если в системе имеется достаточно первых интегралов, с помощью которых можно разделить переменные и свести задачу к одномерной. Для описания движения в этом случае вводят некоторую «эффективную потенциальную энергию». Такая ситуация возникает, например, при исследовании движения в центральном поле, не зависящем явно от времени. Исследование общих свойств движения этих систем принципиально ничем не отличается от случая одномерного движения. Единственным отличием является то, что эффективная энергия будет зависеть от констант интегрирования как от параметров, т. е. в этом случае характер особенностей (количество и расположение точек равновесия и их характер) определяется не только внешними параметрами системы, но и начальными условиями. Для гамильтоновых систем с пстепенями свободы, имеющихпинтегралов движения, как следует из общей теории, всегда можно провести разделение переменных и проинтегрировать задачу, так что рассмотренное качественное исследование с помощью интеграла энергии относится к интегрируемым задачам динамики.

Однако такая ситуация является скорее исключением, чем общим правилом. В общем случае невозможно указать необходимое количество первых интегралов, чтобы проинтегрировать уравнения движения. Такие системы называют неинтегрируемыми. Основы теории качественного исследования неинтегрируемых систем были сформулированы в конце XIX в. при изучении некоторых задач небесной механики, решение которых не может быть представлено в виде известных элементарных или специальных функций или сходящихся рядов таких функций. Дальнейшие исследования показали, что неинтегрируемые системы чрезвычайно широко распространены и являются наиболее типичными в задачах механики. В частности, к ним относятся такие простейшие системы, как математический маятник, на который действует вынуждающая сила, система из двух связанных математических маятников и многие другие. Поскольку мы предполагаем вести качественный анализ неинтегрируемых систем, для исследования общих свойств движения нам придется обратиться непосредственно к динамическим уравнениям.