7.9. Принцип гамильтона - остроградского

Идея, которая положена в основу всех интегральных и некоторых дифференциальных принципов, заключается в положении, что реальное движение механической системы сообщает экстремальность некоторой физической величине. Для математической формулировки этого положения необходимо, как и ранее, ввести в рассмотрение наряду с реальным движением совокупность мыслимых движений, подчинив их вполне определенным требованиям.

Формулировка интегральных принципов проводится в конфигурационном пространстве. Напомним, что для системы, обладающей степенями свободы, обобщенные координаты , определяющие конфигурацию системы в момент времени , рассматриваются как декартовы координаты в соответствующем -мерном пространстве, которое и является конфигурационным пространством. С течением времени состояние механической системы изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает некоторую кривую. Движение системы удобно рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой кривой. Время при таком рассмотрении является параметром, а каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений .

Если нас интересует положение системы на конфигурационной траектории в каждый момент , то нужно добавить еще одну ось . Тогда мы получим «многомерный график» движения рассматриваемой нами системы. Можно также изучать проекции многомерного графика на определенные плоскости, скажем (рис. 2.7). На рисунке А, В являются проекциями изображающей точки в моменты и соответственно, сплошной линией изображено реальное, штриховой - одно из мыслимых движений.

Интегральный принцип - это утверждение о том, как осуществляется реальное движение системы за конечный (не бесконечно малый!) промежуток времени . Тем, что было с системой до момента времени , мы не интересуемся. Но коль скоро начальный и конечный моменты времени фиксированы, считается, что механическая система при всех мыслимых движениях в момент времени проходит через точку А, в момент - В; эти точки соответствуют начальному и конечному положениям системы в ее реальном движении.

Наиболее общая формулировка положения о движении механических систем содержится в так называемом принципе наименьшего действия (его называют также принципом Гамильтона - Остроградского):

Реальное движение механической системы в промежутке времени от до таково, что при этом интеграл, называемый функцией действия и равный

, (60.7)

где -- лагранжиан данной механической системы, имеет экстремум (минимум). Переменная при этом не варьируется.

Иными словами, при реальном движении должна быть равна нулю вариация действия

(61.7)

при условии, что все конфигурационные траектории в моменты времени и проходят через начальную и конечную точки реального движения, т. е.

. (62.7)

Этот принцип, в отличие от дифференциального принципа Д’Аламбера, является интегральным в том смысле, что он содержит утверждение о движении системы в целом за конечный промежуток времени . Фактически из него следуют уравнения Лагранжа, тем самым из принципа наименьшего действия, можно сказать, получается вся динамика механической системы.

Пусть функции , описывают реальное движение, т. е. -те функции, для которых имеет минимум. Рассмотрим совокупность функций где - вариации функций , которые предполагаются малыми по сравнению с во всем интервале времени от до . Кроме того, все удовлетворяют соотношениям (62.7). Вычислим так называемую первую вариацию , имея в виду, что функция Лагранжа может зависеть от обобщенных координат , обобщенных скоростей , и времени :

.

Поскольку , второй член в можно проинтегрировать по частям и получить

.

В силу условий (62.7) сумма

исчезает, а остающийся интеграл будет равен нулю при произвольных значениях только тогда, когда каждый член суммы подынтегрального выражения обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнения Лагранжа 2-го рода

. (63.7)

Полезно помнить, что из решения задачи на экстремум функции получается система конечных уравнений, из которых находится точка, в которой функция достигает экстремального значения. В данном случае мы имеем дело с функционалом, решение задачи на экстремум, которого дает систему дифференциальных уравнений 2-го порядка. Из этих уравнений находится линия в конфигурационном пространстве, задаваемая функциями , на которой функционал достигает минимума. Линию эту называют экстремалью.

Поскольку задача построения той или иной механической модели состоит в составлении уравнений движения, мы видим, что фактически динамика системы определяется одной функцией - лагранжианом, так как именно эта функция решает поставленную задачу. Таким образом, лагранжиан системы является интересным физическим объектом, изучение которого необходимо в связи с задачами динамики. В частности, из принципа наименьшего действия видно, что функция определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от произвольной функции координат и времени. Это нужно понимать так системе, определяемой ее уравнениями движения, соответствует не одна функция Лагранжа . Действительно, пусть имеется , связанная с соотношением

(64.7)

Значит,

,

а

.

Но, так как ,

и, следовательно, уравнения Лагранжа, получаемые с помощью функций и , одни и те же. Неоднозначность определения функции Лагранжа вида (64.7) не сказывается на уравнениях движения, а каждая из класса (64.7) решает а задачу построения динамики системы однозначно.

Важным свойством системы уравнений Лагранжа является их ковариантность. Это означает, что уравнения Лагранжа сохраняют свой вид при точечных преобразованиях обобщенных координат⁴

(65.7)

т. е. при пользовании обобщенными координатами уравнения Лагранжа будут иметь тот же вид:

,

что и при использовании обобщенных координат :

.

Докажем прямо, что уравнения Лагранжа ковариантны относительно преобразования (65.7). Построим :

и производные

,