7.7. Структура функции лагранжа. Обобщенный потенциал

Рассмотрим структурную зависимость функции Лагранжа от обобщенных скоростей и поставим вопрос: какой наиболее общий вид потенциала как функции обобщенных скоростей может быть, чтобы уравнения движения механической системы имели бы форму (37.7)? Начнем тем не менее с установления структуры кинетической энергии. Подставляя (28.7) в (31.7), получим

, (34.7)

где

. (35.7)

Мы видим, что

, (36.7)

где

(37.7)

- однородная квадратичная форма обобщенных скоростей,

(38.7)

- однородная линейная форма обобщенных скоростей, а

(39.7)

вообще не зависит от обобщенных скоростей.

В целом является неоднородной формой обобщенных скоростей, и лишь в случае, когда все , т.е. когда связи стационарны, и кинетическая энергия становится однородной квадратичной формой обобщенных скоростей. Отметим, что коэффициенты симметричны и что ,т.е. - положительно определенная форма обобщенных скоростей.

Рассмотрим теперь структуру потенциала. До сих пор мы исследовали системы с потенциалами, зависящими только от координат (в том числе и обобщенных). Примеры из классической динамики заряженных частиц в электромагнитном поле общего вида приводят нас к понятию обобщенного потенциала, производные которого определенным образом связаны с соответствующими обобщенно-потенциальными силами. Проиллюстрируем это на примере силы Лоренца.

В электродинамике вводят понятие обобщенного потенциала в виде

. (40.7)

Здесь и - векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, заданные как функции точки пространства и времени и определяющие напряженности поля:

, (41.7)

где - заряд частицы, - скорость света. Используя (40.7), силу Лоренца

(42.7)

можно представить как

. (43.7)

Действительно, подставляя (40.7) в (43.7) получим

. (44.7)

Здесь мы использовали известную из векторного анализа формулу

,

где - постоянный (т. е. не зависящий от координат) вектор, . Заметим, что в качестве обобщенных координат, в частности, можно использовать и декартовы координаты; тогда обобщенными скоростями будут, очевидно, компоненты вектора скорости . В общем случае сила (43.7) может быть построена как обобщенная сила

(45.7)

Докажем, что это так. По определению обобщенной силы имеем

. (46.7)

Используя соотношение , приведем (46.7) к виду

.

Отсюда, принимая во внимание, что

,

убеждаемся, что действительно определяется формулой (45.7).

Следует подчеркнуть, что обобщенный потенциал, с помощью которого определяют силы вида (45.7), должен быть линейной формой относительно обобщенных скоростей (т. е. в недопустимы степени выше первой), так как в противном случае обобщенные силы зависели бы от обобщенных ускорений и задача динамики стала бы неопределенной. Следовательно, в общем случае обобщенный потенциал имеет вид

, (47.7)

где - линейная однородная форма обобщенных скоростей, -форма нулевой степени. Легко получить структуру обобщенной силы:

, (48.7)

где - коэффициенты, антисимметричные по индексам , так что

. (49.7)

Последний член в (48.7) представляет так называемую гироскопическую часть обобщенной силы. Таким образом, при наличии обобщенно-потенциальных сил функция Лагранжа представима в виде

. (50.7)

Приведем здесь также выражение для полной механической энергии несвободной системы материальных точек:

. (51.7)

Обратим внимание на то, что, по определению, есть сумма кинетической и потенциальной энергий системы точек.