7.5. Уравнения лагранжа в независимых координатах (2-го рода)

Для получения уравнений Лагранжа 2-го рода нужно переписать принцип Д’Аламбера в независимых (или, как их чаще называют, обобщённых) координатах. Выбор этих координат неоднозначен, однако при любом выборе следует удовлетворить двум условиям. Подберем обобщенных координат так, чтобы все были бы однозначными функциями этих координат :

(17.7)

Число независимых координат для систем, на которые наложены голономные связи, называют числом степеней свободы системы. Итак, независимыми (обобщенными) координатами могут быть величин, которыми конфигурация системы определяется однозначно. Обозначим декартовы координаты материальных точек системы буквой и перенумеруем их в определенном порядке. Тогда условие независимости означает, что из функций s функций должны быть независимыми, что можно обеспечить требованием

. (18.7)

Второе условие накладывается на связи: при подстановке (17.7) в уравнения связей (1.7) они должны обращаться в тождества

. (19.7)

Мы увидим, что в динамические уравнения, записанные в независимых координатах, силы реакции связей вообще не входят; по существу они исключены из динамики системы условиями (7.7).

Теперь мы можем записать принцип Д’Аламбера в независимых координатах. Для этого получим связи между вариациями и , исходя из (24.7):

, (20.7)

(21.7)

и также

(22.7)

Полные производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями. Подставим (27.7) в (8.7) и преобразуем результат:

.

(23.7)

Под знаком производной заменим на и введем кинетическую энергию системы точек как функцию обобщенных координат и обобщённых скоростей:

, (24.7)

a также обобщённые силы

. (25.7)

С учётом (24.7) и (25.7)принцип Д’Аламбера можно записать в следующем виде

. (26.7)

Подчеркнем, что размерность обобщенной силы есть энергия, делённая на обобщенную координату, поэтому ее размерность не совпадает в общем случае с размерностью обычной силы. Совпадут они лишь в случае, если имеет размерность длины. Размерность суммы есть размерность работы или энергии.

Выражение (26.7) представляет собой принцип Д’Аламбера в независимых координатах. В случае голономных связей все являются независимыми, и для удовлетворения (26.7) мы должны положить коэффициенты при каждой вариации равными нулю:

. (27.7)

Уравнениями (27.7) описывается динамика механической системы в независимых координатах под действием заданных внешних сил; силы реакции в (27.7) не входят. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные координаты как функции времени. Число неизвестных и число уравнений совпадают и в данном случае, равны числу степеней свободы. Если внешние силы имеют потенциал ,то

, (28.7)

причем не зависят от обобщенных скоростей .

Введем функцию²

, (29.7)

которая называется функцией Лагранжа, или лагранжианом системы. Учитывая, что для всех (27.7) нетрудно преобразовать к виду

. (30.7)

Уравнения (30.7) называют уравнениями Лагранжа в независимых координатах (2-го рода).

Замечательно, что вся динамика системы материальных точек управляется одной скалярной функцией, зависящей от обобщённых координат, обобщённых скоростей и времени, - функцией Лагранжа. В общем случае уравнения Лагранжа (27.7) подставляют собой систему дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Решение основной задачи динамики несвободной системы может быть проведено следующим образом. Решая систему уравнений Лагранжа, получим

. (31.7)

Далее, если нам нужно знать положения точек в любой момент времени , необходимо подставить (31.7) в (17.7). В результате находим

. (39.7)

Силы реакции связей можно определить из уравнений

. (40.7)

При этом находятся из (39.7) путем двукратного дифференцирования по времени. Таким образом, основная задача механики полностью решается.

Заметим, что если рассматривать радиус-вектор точки как функцию трех независимых вещественных переменных в отсутствие связей, то точечные преобразования

описывают переход к произвольным криволинейным координатам . Из (30.7), (33.7) видно, что проекции ускорениям материальной точки на единичные орты криволинейных координат можно записать в виде

,

где как функция определяется формулой (28.7) с a являются функциями криволинейных координат . Единичные векторы определяются как

.

Параметры называются дифференциальными параметрами Ламе.

Метод Лагранжа можно применять и при описании динамики свободной механической системы. Зачастую, особенно при использовании криволинейных координат, уравнения движения системы проще получить методом Лагранжа, чем проектировать векторные уравнения Ньютона на соответствующие орты. В качестве примера получим уравнения движения материальной точки массы, в поле силы в сферической системе координат.

Кинетическую энергию точки найдем, учитывая, что приращение радиуса-вектора точки описывается формулой

,

а скорость –

,

где - единичные сферические орты. Поэтому

и кинетическая энергия точки

.

Обобщенные силы

,

.

Подставляя и в уравнения (27.7) и полагая в них , получим уравнения движения точки в сферических координатах:

,

,

.

Проекции ускорения точки на орты сферической системы координат

,

,

.

Приведем также функцию Лагранжа свободной материальной точки в отсутствие внешних сил в декартовых

и в цилиндрических

координатах.

Пример. Задача о движении двух тел в однородном внешнeм поле. Показать, что задача о движении двух взаимодействующих (по 3-му закону Ньютона) между собой тел в однородном внешнем потенциальном поле сводится к задаче о движении центра масс и задаче о движении -точки в заданном поле.

В качестве обобщенных координат выберем координаты радиусов-векторов и частиц массы и . Пусть внешнее поле действует на частицу с силой , на частицу массы - с силой (причем по условию ), а потенциальная энергия взаимодействия частиц равна , где .

Функция Лагранжа в координатах

Перейдем к независимым координатам

.

Тогда

,.

Уравнения Лагранжа в координатах и :

.

В частности, если частицы обладают зарядами , а напряженность внешнего поля равна , то , , , если исследуется движение двух гравитирующих частиц в однородном поле тяжести напряженности , то , , , где - гравитационная постоянная.

Из полученных результатов видно, что при движении точек в однородном внешнем потенциальном поле внутренние силы не оказывают влияния на движение центра масс системы. Это достаточно общий результат.