7.5. Общие теоремы динамики систем со связями
Теорема об изменении импульса системы с идеальными голономными связями.
Если в системе материальных точек с голономными идеальными связями эти связи допускают перемещение системы как целого вдоль некоторого направления, характеризуемого в выбранной инерциальной системе неподвижным вектором, то скорость изменения импульса системы точек вдоль этого вектора равна сумме всех внешних активных сил, действующих в рассматриваемом направлении.
Рассмотрим
систему, состоящую из N
точек
с наложенными
на нее голономными идеальными связями,
определяемыми системой уравнений
,
где 
.
Уравнения Ньютона, которым подчиняется система, имеют вид
, (17.7)
где
— силы, действующие со стороны j-и
точки системы на i-ю
точку (внутренние силы), 
— внешние силы, действующие на i-ю
точку со стороны тел, не включенных в
систему. Движение внешних тел считается
заданным, поэтому внешние силы зависят
только от координат и скоростей точек
системы и времени, и не содержат координат
и скоростей внешних тел. 
— силы реакции, действующие на i-ю
точку со стороны связей. Поскольку
реакции связей не определены до решения
задачи, силы 
являются неизвестными и должны быть
исключены. Воспользуемся для этого
условием идеальности (7.7).
Пусть
— виртуальное перемещение, удовлетворяющее
уравнениям связей
.
Для систем с идеальными связями виртуальная работа всех сил реакции равна нулю:
.
Учитывая
это условие, умножим скалярно каждое
уравнение системы на 
и сложим все уравнения:
.
Если
связи допускают виртуальное перемещение
системы как целого, т. е. среди всех
виртуальных перемещений существуют
такие, что 
,
для всех точек системы, то, вынося общий
множитель 
за знак суммирования, получим уравнение
,
так как в силу третьего закона Ньютона
.
Введем
единичный вектор 
,
определяющий в пространстве направление
смещения системы:
,
такой,
что 
.
Скорость изменения проекции импульса
системы на это направление равна проекции
активных внешних сил на это направление:
,
где введены обозначения
.
Теорема
позволяет найти закон движения центра
масс
вдоль направления, задаваемого вектором
из уравнения, если поле однородно или
точки приложения внешних сил заданы
.
Аналогичным образом можно сформулировать и теорему об изменении кинетического момента для систем с идеальными связями, исключая неизвестные силы реакции связей.
Теорема об изменении кинетического момента системы с идеальными голономными связями.
Если в системе материальных точек с голономными идеальными связями эти связи допускают поворот системы как целого вдоль некоторого направления, определяемого вектором, неподвижным в данной инерциальной системе, то скорость изменения кинетического момента системы вдоль этого направления равна сумме моментов всех внешних активных сил, действующих в данном направлении.
Пусть уравнения движения каждой точки системы имеют вид (17.7), а связи допускают поворот системы точек как целого, т. е. виртуальные перемещения каждой точки представимы в виде
.
Умножая
скалярно каждое уравнение на 
и складывая, получим уравнение
.
Здесь мы вновь учли, что для идеальных связей виртуальная работа равна нулю:
.
Поскольку внутренние силы, действующие между каждой парой точек системы, согласно третьему закону Ньютона равны по величине, направлены противоположно и лежат на прямой, соединяющей эти точки, их суммарный момент равен нулю:
.
Если
существует такое направление в
пространстве, определяемое вектором
,
что 
,
причем 
,
то, вводя обозначения для кинетического
момента системы точек 
,
а для суммарного момента внешних сил
,
придем к теореме об изменении проекции
кинетического момента системы на
направление, определяемое вектором 
:
. (20.7)
Если связи допускают поворот системы точек как целого вокруг трех различных фиксированных осей (например, для твердого тела с одной неподвижной точкой), то теореме об изменении вектора кинетического момента можно придать векторную форму:
. (21.7)
Рассмотрим, наконец, теорему об изменении энергии системы материальных точек с идеальными голономными связями.
Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными голономными связями.
Если в системе с голономными идеальными связями связи являются стационарными, т. е. уравнения связей явно не зависят от времени, то скорость изменения кинетической энергии системы равна мощности всех активных сил, внутренних и внешних, действующих на точки системы.
Предположим, что в рассматриваемой системе связи явно не зависят от времени, так что виртуальные перемещения могут быть выбраны совпадающими с действительными:
.
В этом случае изменение кинетической энергии системы равно мощности всех активных сил, внешних и внутренних.
Если в системе действуют потенциальные, гироскопические и диссипативные силы, так что
,
то, вводя полную энергию системы E=T+U, получим теорему об изменении полной энергии системы точек с идеальными голономными связями:
где
—мощность диссипативных сил. Эта формула
является частным случаем формулы (16.7).