0Бщее уравнение механики

Принципом или началом; механики называют такое общее математически формулируемое предложение, из которого механика как физическая теория может быть выведена дедуктивно (т. е. идя от общего положения к частному), т. е. могут быть получены уравнения движения для механических систем общего типа или для систем некоторого ограниченного класса. Эти принципы используют понятие виртуальных перемещений, т. е. по существу понятие вариации функции. Они формулируют условия существования обобщенного состояния равновесия некоторых систем, которое в свою очередь находится как решение задачи на экстремум некоторой функции.

Рассмотрим несвободную систему материальных точек в равновесии. Тогда , где . Вычислим , получаем . Полученное равенство тривиально. Чтобы наполнить его новым физическим содержанием, представим его в виде

,

если связи идеальны, т. е. если то и

.

Виртуальная работа активных (внешних) сил, приложенных к уравновешенной системе, равна нулю. Это принцип виртуальных работ (перемещений). Он эквивалентен постулату: Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю на любом виртуальном перемещении, не нарушающем заданных кинематических условий:

.

Заметим, что , так как не все независимы. Чтобы приравнять коэффициенты нулю, нужно перейти к независимым вариациям координат.

Принцип виртуальных перемещений был обобщен Д’Аламбером на динамические системы. Все другие основные принципы механики (Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона-Остроградского) являются, по-видимому, различными математическими формулировками принципа Д’Аламбера. Поэтому в некотором смысле постулат о виртуальной работе сил реакций есть по существу единственный постулат аналитической механики.

Включим в и далее применим принцип виртуальных перемещений к «механической системе», на которую действуют силы. Тогда получим

(8.7)

Это (соотношение называют принципом Д’Аламбера, а так же общим уравнением механики Д’Аламбера - Лагранжа.

Из общего уравнения механики получаются как уравнения с неопределенными множителями (1-го рода), так и Лагранжа в независимых (обобщенных) координатах (2-го рода).

7.4. Уравнения лагранжа 1-го рода

Умножим каждое из соотношений (5.7) на некоторый множитель и сложим их

(9.7)

Складывая (9.7) и общее уравнение механики, получим

. (10.7)

Мы должны получить уравнения движения. Для этого подберём ещё не определенных множителей так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях обратились бы в нуль. Это можно сделать единственным образом (т. е. выразить зависимых вариаций через независимых вариаций), так как мы предполагаем независимость уравнений связей и вытекающее из этого неравенство нулю детерминанта из коэффициентов при зависимых вариациях в соотношениях (5.7). Коэффициенты при независимых вариациях в (10.7) должны быть равны нулю вследствие независимости этих вариаций. Следовательно, чтобы соотношение (10.7) удовлетворялось, необходимо положить коэффициенты при всех равными нулю:

. (11.7)

Кроме этого мы имеем еще уравнений

. (12.7)

Уравнения (11.7) называют уравнениями Лагранжа 1-го рода. Силы реакции связей, как видно из сравнения (7.7) с (9.7) выражаются через градиенты функций

. (13.7)

Можно сказать, что уравнения (9.7) представляют собой необходимые и достаточные условия обращения в нуль виртуальной работы сил реакций, т. е. условие идеальности связей здесь использовано. По существу к (8.7) мы прибавили нуль, так как виртуальные перемещения удовлетворяют соотношениям (5.7).

Законы изменения полных импульса, момента импульса и механической энергии несвободной системы материальных точек модифицируются, так как в правых частях соответствующих уравнений теперь нужно учитывать внешние силы реакции. Это нетрудно сделать, и в итоге мы получим

, (14.7)

, (15.7)

, (16.7)

где , и при выводе (16.7) мы использовали (6.7), из которого следует, что

.

Заметим, что полная механическая энергия несвободной системы сохраняется лишь при условии стационарности внешних потенциальных сил, отсутствии диссипативных сил и стационарности всех связей. Нестационарные связи способны совершать работу, в результате которой механическая энергия системы будет изменяться со временем.

Модифицированные таким образом законы изменения, включают, однако, силы реакции связей, которые остаются неизвестными до решения системы динамических уравнений, и поэтому они неприменимы для определения первых интегралов динамической системы. С этих позиций представляется целесообразным сформулировать законы изменения основных динамических величин так, чтобы неизвестные силы реакций не входили в уравнения.