2.5. Импульс, момент импульса.
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ СОХРАНЕНИЯ
Уравнения
движения (1.2), (2.2) определяют закон
изменения импульса материальной точки,
из которых следует, что если 
,
то вектор импульса точки 
где 
-
постоянный вектор. Это утверждение
носит характер теоремы. Так как 
- трехмерный вектор, то в случае равенства
нулю всех трех компонент силы остаются
неизменными во время движения все три
проекции импульса на неподвижные оси.
Однако из (1.2) следует также, что в случае
равенства
нулю какой-либо
проекции силы на неподвижную ось
соответствующая проекция импульса
сохраняется. Функции
(19.2)
являются
тремя первыми независимыми интегралами
движения. Найдем векторное произведение
,
где 
- радиус-вектор точки. Из (1.2) получим
,
или
, (21.2)
где
- момент импульса точки, а 
- момент силы. Уравнение (21.2) определяет
закон изменения момента импульса точки
со временем. Из (21.2) следует теорема:
Если
вектор момента силы в любой момент
времени равен нулю
,
то момент импульса точки не изменяется
во время движения, т. е.
,
или по компонентам 
.
В
случае равенства нулю какой-либо проекции
момента силы соответствующая проекция
момента импульса будет оставаться
постоянной. Компоненты вектора 
по декартовым осям
.
(22.2)
Из
(6.1) и (22.2) видно, что 
,
где
- секторная
скорость точки. Поставим общий вопрос:
в каких случаях 
,
т. е. когда 
является интегралом движения? Оказывается,
это будет в двух случаях: 1) 
;
2) 
.
Первый случай
тривиален, так как на точку не действуют
силы. Во втором случае линия действия
параллельна (или антипараллельна)
радиус-вектору частицы и проходит через
некоторую неподвижную точку-центр силы.
Очевидно, центр силы находится в начале
координат. Тогда 
.
Силы вида 
называются центральными.
Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется зависимость, так как
, (23.2)
.
(24.2)
Аналогично
(25.2)
Но
если 
,
то 
,
и, следовательно
.
(26.2)
Из
(26.2) видим, что под действием центральной
силы точка движется по плоской траектории,
плоскость которой проходит через центр
силы и перпендикулярна постоянному
моменту импульса точки
.
Заметим, что существование зависимостей (24.2), (25.2) связано с невозможностью решения системы линейных уравнений
(27.2)
как
относительно 
(при
фиксированных 
),
так и относительно 
(при
фиксированных 
).
Легко проверить, что функциональный
определитель этой системы равен нулю.
Вычислим
скалярное произведение векторов 
и 
,
умножая (2.2) скалярно на вектор 
:
.
(28.2)
Левая часть (28.2) равна полной производной по t от кинетической энергии точки
.
(29.2)
Правая часть (28.2) равна мощности силы. Рассмотрим случай потенциальной силы. Силу называют потенциальной, если она зависит только от координат и времени и удовлетворяет векторному уравнению
.
(30.2)
Если
(30.2) выполняется, то 
можно представить в виде
,
(31.2)
скалярную
функцию U
называют
потенциальной энергией точки. Пусть 
и 
не зависят
от 
явно. Используя
(31.2), представим 
в виде
. (32.2)
Выражая
из (29.2) и подставляя полученное, а также
(32.2) в (28.2), находим
. (33.2)
Здесь
- элементарная
работа потенциальной силы, т. е.
.
Так как 
и 
являются в
данном случае полными дифференциалами,
то
, (34.2),
т. е.
.
(35.2)
Мы
получили закон сохранения полной
механической энергии точки, которая
определяется как сумма ее кинетической
и потенциальная энергии. Если 
и 
зависят явно от 
,
то
.
(36.2)
Выражая
отсюда 
и подставляя в (28.2), получим
.
(37.2)
Это закон изменения полной механической энергии точки, движущейся в поле потенциальной силы.
В
задачах механики помимо потенциальных
сил рассматривают также диссипативные
и гироскопические силы. Диссипативная
сила 
направлена всегда противоположно
скорости тела относительно среды,
вызывающей торможение тела:
,
(38.2)
причём
в общем случае является положительной
скалярной функцией координат и скорости
точки. Гироскопическая сила представима
в виде
, (39.2)
где
- скорость точки. Из (39.2) следует, что
вектор 
ортогонален
вектору скорости
,
т. е. 
.
Если 
и 
,
то эти силы нужно учитывать в уравнениях
движения. В частности, закон изменения
полной энергии точки при наличии
потенциальных, гироскопических и
диссипативных сил имеет вид
.
(40.2)
1Здесь мы имеем в виду силы, которые возникают в результате фундаментальных взаимодействий: ядерных (сильных), электромагнитных или гравитационных.
2Прекрасное изложение темы ИСО можно найти в книгах:ВейнбергС. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975,ЛогуновА. А. Лекции по теории относительности и гравитации. М.: Изд-во МГУ, 1985. Здесь мы во многом следуем этим работам.
3Пространства, в которых квадрат
расстояния между точками, характеризуемыми
радиус-векторами
,
определяется формулой
называют евклидовыми.