2.2. Инерциальные системы отсчета

Выше говорилось, что первый закон Ньютона фактически утверждает, что существуют инерциальные системы отсчета (ИСО). Второй закон Ньютона в форме (2.2) справедлив также в ИСО. Мы видели, что в ИСО все силы, действием которых объясняется движение галактик, звезд, атомов, электронов и т. д., обладают важным общим свойством: величина силы, действующей на тело, обязательно уменьшается по мере того, как это тело удаляется от соседних тел. Рассмотрение движения тел относительно неинерциальных систем отсчета показывает, что в них появляются кажущиеся силы, которые, не будучи обусловлены присутствием других тел вблизи данного тела, не обладают свойством убывания.

Уравнения движения механики, записанные относительно ИСО, имеют очень простой вид, но кроме этого интерес к ИСО вызван и более глубокими физическими причинами².

Рассмотрим в некоторой системе отсчета движение гравитирующих свободных материальных точек и запишем для этой системы векторных уравнений движения (второй закон Ньютона):

, (3.2)

где индексы пробегают значения , а гравитационная постоянная .

Перейдем к описанию этой системы в новых пространственно-временных координатах , связанных со старыми координатами следующими формулами преобразования:

, (4.2)

. (5.2)

Здесь - произвольная действительная ортогональная матрица, - постоянные действительные трехмерные векторы, действительная постоянная. Поясним, как действует матрица на любой из векторов . Если - декартовы компоненты вектора (индекс для краткости опускаем), то при преобразовании, задаваемом матрицей , компоненты всех векторов преобразуются по закону

,. (6.2)

Здесь и далее латинскими индексами отмечаются компоненты трехмерных векторов, тензоров и т. д. Нетрудно видеть, что из условий ортогональности преобразования и сохранения квадрата длины вектора следует, что³

, (7.2)

где- символ Кронекера со значениямипредставляет фактически шесть соотношений. Следовательно, из девяти величин лишь три будут независимыми. Поэтому матрица определена тремя действительными постоянными величинами. Формулы (4.2), (5.2) можно рассматривать как формулы преобразования радиус-векторов точек и времени при переходе от одной ИСО к другой ИСО .

Если в каждой ИСО имеются наблюдатели (скажем, в началах СО О и О'), то наблюдатель, находящийся в ИСО, видит ИСО , декартовы оси которой повернуты с помощью матрицы , движущейся со скоростью и смещенной при на вектор , часы наблюдателя в отстают от часов наблюдателя в на величину Преобразования (4.2), (5.2) являются фактически группой преобразований, так как параметры, определяющие их, могут принимать произвольные значения. Эту 10-параметрическую группу (три угловых параметра, характеризующие матрицу поворотов , по три компоненты векторов и и параметр ) называют группой (движений) Галилея. Поставим вопрос, какой вид примут уравнения (3.2) в ИСО ? Подставив (4.2), (5.2) в (3.2), получим

, (8.2)

т. е. уравнения движения (3.2) сохраняют свою форму при преобразованиях группы Галилея. Форм-инвариантность уравнений движения (т. е. сохранение функциональной зависимости преобразованных уравнений от координат) относительно таких преобразований называют галилеевской инвариантностью, или принципом относительности Галилея, Уравнения Ньютона (3.2) инвариантны относительно преобразований группы Галилея.

Развитие механики Ньютона способствовало развитию наших представлений о пространстве и времени. Действительно, евклидовость пространства (т. е. то, что в пространстве действуют правила евклидовой геометрии пространства), заложенная в механику Ньютона а priori, могла быть проверена путем сравнения предсказаний механики с результатами экспериментов. Так было доказано, что с большой точностью пространство является евклидовым. Для лучшего уяснения связи механики Ньютона с евклидовостью пространства рассмотрим преобразования группы Галилея при некоторых фиксированных значениях параметров.

1. Пусть все параметры, кроме , равны нулю, т. е. мы совершаем только преобразование координат вида

Очевидно, это преобразование можно осуществить, или смещая начало системы на вектор (преобразование системы отсчета), или перенося каждую материальную точку нашей механической системы в точки пространства, отстоящие от прежних на постоянный вектор . Согласно (3.2) и (8.2) механические процессы при этом будут протекать одинаковым образом. Это означает, что в пространстве нет выделенных точек, а значит оно однородно.

2. Пусть . Форм-инвариантность уравнений (3.2) относительно этого преобразования (переносе начала отсчета всех часов) означает, что все моменты времени равноправны (если изображать эти моменты на оси времени), т. е. и тот же механический процесс при одинаковых начальных условиях будет протекать одинаково независимо от начального момента .

3. Пусть Нетрудно понять, что инвариантность уравнений Ньютона относительно этих преобразований доказывает отсутствие выделенных направлений в пространстве, т. е. его изотропность.

Итак, на основании механических уравнений можно дать некоторые заключения о свойствах пространства и времени: однородности и изотропности пространства, однородности времени.

4. Пусть . Если смотреть на эти преобразования как на точечные, то согласно данному выше определению эти преобразования характеризуют переход из одной ИСО к другой ИСО. Нелишне подчеркнуть, что в уравнения (8.2) не входит вектор , который согласно (4.2) является вектором скорости системы относительно . Это означает, что, во-первых, механические процессы в разных ИСО протекают одинаково, и, наблюдая механические процессы, мы не сможем сказать, находимся мы в неподвижной или в движущейся с постоянной скоростью системе отсчета. Из этих преобразований также следует, что расстояния между любыми точками являют инвариантными для всех ИСО, т. е.

,

т. е. пространство евклидово во всех ИСО.

Пример. Кинематическая «задача преследования» в движущейся системе отсчета.

В плоскости xOy движутся две точки с постоянными по модулю скоростями, причем , а вектор все время направлен на точку 1. Найти траекторию точки 2 в системе осей xO’y, движущихся вместе с точкой 1 рис. (1.2), и интервал времени , через который произойдет встреча, считая, что и что при . В (движущейся) системе отсчета xO’y введем полярные координаты точки 2 согласно . Кинематическое условие

.

С другой стороны,

Поэтому

.

Переходя в этом равенстве к дифференцированию по , получим

.

Разделяя переменные

и интегрируя, получаем

.

Определив константу С из условия, что при находим уравнение траектории в полярных координатах в системе xO’y

.

Если , то

.

Для нахождения интервала времени Т воспользуемся равенством

и учтем, что

.

Из последних двух соотношений получим

,

.

Интеграл слева с помощью замены переменной приводится к виду

.

Учитывая, что найдем

.