13.3. Динамические уравнения эйлера

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой существенно упрощаются, если динамические переменные — векторы кинетического момента и угловой скорости — задавать проекциями на оси системы es, жестко связанные с движущимся телом. В этом случае компоненты тензора инерции явно не зависят от времени. Выберем систему координат, связанную с твердым телом, так, чтобы учесть симметрии в распределении масс и диагонализовать тензор инерции. Пусть — главные моменты тензора. Вектор угловой скорости мы будем задавать также проекциями на орты:

.

Кинетический момент вращающегося тела в этом случае

,

т. е. определяется компонентами

. (23.13)

Векторы при движении твердого тела могут поворачиваться относительно инерциальной системы, определяемой ортами, так что, причем коэффициенты матрицы поворотов зависят от времени:

.

Используем теорему об изменении кинетического момента

.

Выполняя дифференцирование с учетом вращения ортов

, ,

получим выражение для изменения кинетического момента

. (24.13)

Подставляя в это выражение значения вектора кинетического момента из (23.13), найдем проекции уравнения (24.13) на орты движущейся системы:

,

,

.

(25.13)

Полученная система уравнений называется системой динамических уравнений Эйлера. Вместе с кинематическими уравнениями, выражающими угловую скорость через обобщенные координаты и скорости, полученная система шести уравнений первого порядка описывает вращательное движение твердого тела. В качестве таких уравнений можно взять кинематические уравнения Эйлера (18.12):

,

,

.

Интегрирование системы динамических уравнений Эйлера (25.13) в общем случае весьма сложно. Общее решение в квадратурах для этих уравнении может быть получено в некоторых частных случаях, к которым относятся случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Случай свободного движения твердого тела, когда момент внешних сил, действующих на него, равен нулю, называется случаем Эйлера. В частности, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения движение тела называют регулярной прецессией. Интегрирование уравнений в этом случае существенно упрощается. Напомним, что углы Эйлера имеют следующие названия:

— угол прецессии,

 — угол нутации,

— угол собственного вращения,

так что названия движения вращающегося тела — прецессия или нутация — связаны с изменением соответствующих углов Эйлера.

В случае свободного движения, когда момент внешних сил равен нулю, система динамических уравнений Эйлера явно не зависит от углов и может быть проинтегрирована независимо от системы кинематических уравнений (18.12). В рассматриваемом случае симметричного тела решение последнего уравнения системы (25.13) тривиально:, а оставшиеся два уравнения этой системы

,

, (26.13)

являются линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами, решение которых находится стандартными методами:

,

.

Это означает, что вектор угловой скорости при движении твердого тела вращается (прецессирует) вокруг осисо скоростью_пр

. (27.13)

Полученные решения динамических уравнений позволяют проинтегрировать кинематические уравнения (18.12):

(28.13)

Для упрощения вычислений выберем лабораторную систему так, чтобы вектор кинетического момента М, который является интегралом задачи, был направлен вдоль оси :

.

Как следует из решения системы (25.13), проекция вектора на орт также сохраняется:

.

В этом выражении M₀ – величина вектора кинетического момента:

,

что позволяет определить сохраняющийся угол  = ₀:

.

С учетом полученного решения система кинематических уравнений (28.13) может быть приведена к виду

. (29.13)

Решения этой системы определяют движение твердого тела

(30.13)

В зависимости от соотношения между ипрецессия может быть прямой, когда, или обратной, когда.

Полученные результаты могут быть применены к описанию движения планет, которые представляют собой слегка сплюснутые тела вращения. Если распределение масс обладает симметрией, то можно полагать . Например, для Земли. Если период суточного вращения известен и угол между осью вращения и осью симметрии мал, то период обращения полюса — период Эйлера — определяется полученным соотношением (27.13). В частности, для Земли из анализа ее формы можно предположить, так что. Наблюдаемое движение полюса несколько отличается от расчетного, что может быть обусловлено отклонением в распределении масс от принятой модели или тем, что модель абсолютно твердого тела в этом случае оказывается слишком грубой.