5.5. Задача двух тел

Задача двух тел представляет собой наиболее простую задачу системы материальных точек, решить которую можно полностью в общем виде, если сила взаимодействия между частицами подчиняется третьему закону Ньютона. Это точно решаемая задача. Она может быть упрощена путем разложения движения системы (состоящей из двух частиц) на движение центра масс и движение точек относительно ЦСО.

Запишем уравнения движения относительно неподвижной системы отсчета с началом в точке О:

, (31.5)

,

причем

. (32.5)

Так как внешние силы на точки не действуют, то согласно (7.5) имеем закон движения центра масс системы двух точек в виде

, (33.5)

где — скорость, a - радиус-вектор центра масс в начальный момент времени.

Введем систему отсчета S'с началомО' в центре масс. Тогда

, (34.5)

где ,-радиус-векторi-й точки относительноS'.

Согласно принципу относительности Галилея уравнения движения (31.5) сохраняют свою форму в системе отсчета S':

,

. (35.5)

Но в системе S'радиус-вектор центра масс .Значит,

(36.5)

Вводя вектор взаимного расстояния

, (37.5)

из двух последних равенств находим

. (38.5)

Дифференцируя (38.5) по времени, получим

. (39.5)

И далее

. (40.5)

Подставляя (37.5) и (40.5) в (35.5) и учитывая (38.5), убеждаемся, что уравнения движения для каждой точки записываются одинаково:

. (41.5)

Величина называется приведенной массой. Заметим, что, используя (38.5), (40.5), можно получить уравнения движения для каждой из точек в виде

,,. (42.5)

Векторное уравнение движения (41.5) формально совпадает с уравнением движения материальной точки массы , движущейся во внешнем центральном поле, центр силы которого находится в центре масс. Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к задаче о движении одной (воображаемой) точки массыв заданном центральном поле. По решению этой задачи законы движения каждой из частиц можно найти в системеS' по формулам (38.5), а в системеSпо формулам (34.5).

Приведем формулы, описывающие движение -точки, используя результаты задачи о движении точки в центральном поле. Энергия и момент импульса -точки:

.

Уравнение плоскости, в которой целиком лежит траектория -точки, .Уравнение траектории-точки в перпендикулярной вектору плоскости:

,

.

Уравнение, неявно определяющее радиальную координату -точкиr как функцию времени:

.

Резюмируя, можно сказать, что относительно Sцентр масс движется равномерно и прямолинейно, а обе точки относительноS'совершают движение в плоскости, проходящей через центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительноS; траектории обеих точек относительноS'подобны, причем центр подобия находится в центре масс, а соотношения подобия равны отношению масс точек.

Нетрудно показать, что ,а,где- момент импульса, —энергияi-й точки в системе S':

,

.

Итак, механическое состояние системы, состоящей из двух взаимодействующих точек, относительно системы отсчета Sопределяется формулами

,

.

1А. Эйнштейн определил 4-импульс механической системы , как величину, обладающую следующими свойствами: 1) - 4-вектор Лоренца; 2) - величина аддитивная, т. е. для системы, состоящей из нескольких (скажем, l) подсистем — сохраняющийся 4-вектор. Тем же свойствам удовлетворяет трехмерный вектор в трехмерном пространстве.

2 Системы, в которых действующие на материальные точки силы потенциальны и не зависят явно от времени, называют консервативными. Также называют и силы. Потенциальная энергия консервативной системы зависит только от координат точек системы, а полная механическая энергия сохраняется.

7