2.7. Обобщенный метод наименьших квадратов.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (метод OLD–OrdinaryLeastSquares) заменятьобобщенным методомGLS(GeneralizedLeastSquares). Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Суть метода заключается в том, что подбираются коэффициенты К_i, такие, чтоσ²_i=σ²·К_i,

где σ²_i– дисперсия ошибки при конкретномi–ом значении фактора;

σ² – постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о

гомоскедастичности остатков;

К_i – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением

величины фактора.

Уравнение парной регрессии при этом принимает вид

у_i/ =₀/ +₁х_i/ +_i.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляют собой взвешенную регрессию, в которой переменныеуихвзяты с весами 1/. Аналогичный подход применяют и для множественной регрессии, уравнение с преобразованными переменными принимает вид

у/ =₀/ +₁х₁/ +₂х₂/ +…+_mх_m/ +. (15)

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности К. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки _i пропорциональны значениям фактора. Пусть, например,у– издержки производства,х₁– объем продукции,х₂– основные производственные фонды,х₃– численность работников, тогда уравнениеу=₀+₁х₁+₂х₂+₃х₃+является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, чтоσ²_iпропорциональна квадрату численности работников (т.е. =х₃), получим в качестве результативного признака затраты на одного работника (у/х₃), а в качестве факторов производительность труда (х₁/х₃) и фондовооруженность труда (х₂/х₃). Соответственно трансформированная модель примет вид

у/х₃=₃+₁х₁/х₃+₂х₂/х₃+,

где вычисленные параметры ₃,₁,₂ численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее изменение издержек производства с изменением абсолютного значения соответствующего фактора на единицу, они фиксируют теперь среднее изменение затрат на работника в зависимости от изменения производительности труда на единицу; и в зависимости от изменения фондовооруженности труда на единицу.

Если же предположить, что в первоначальной модели дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции, получаем уравнение регрессии

у/х₁=₁+₂х₂/х₁+₃х₃/х₁+,

где у/х₁– затраты на единицу продукции,х₂/х₁– фондоемкость продукции,х₃/х₁– трудоемкость продукции.

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки.

7. Прогнозирование.

Расчеты и проверка достоверности полученных оценок коэффициентов регрессии не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использование модели для анализа и прогноза поведения изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии. Доверительный интервал для прогностического значения у(х)= ₀+₁х определяется по формуле , (16)

где t_p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р.

Используем полученное в примере 1 уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Пусть намечается открытие магазина с численностью работников х=140 чел., тогда достаточно обоснованный объем товарооборота следует установить по уравнению ŷ(х)= –0,974 + 0,01924140=1,72 млрд. руб.

Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (16).

Выберем уровень значимости 5%. Число степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t_0.05(6)=2,447.

= 0,008=0,089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1,72 – 2,4470,048<y(x)<1,72+2,4470,048, или 1,60<y(x)<1,84.