2.2. Свойства оценок мнк.

Оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:

оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению. Это вытекает из того, что М=0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии;
оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю. Иначе говоря, надежность оценки при увеличении выборки растет;
оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра (при линейной аппроксимации). В англоязычной литературе они называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators – наилучшие линейные несмещенные оценки).

2.3. Показатели качества регрессии.

Надежность получаемых оценок ₀ и ₁ зависит от дисперсии отклонений переменной у от оцененной линии регрессии _i = у_i – ₀ – ₁х_i.Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей вычисляется по формуле

, (8)

и является мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии (необъясненная дисперсия).

В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений, служит коэффициент детерминации, при этом вычисляются следующие суммы квадратов отклонений:

S²= _i(y_i– )² – фактических значений от их среднего арифметического;

Ŝ²= _i(ŷ_i– )² – выровненных значений от среднего арифметического

фактических значений;

Š²= _i(y_i– ŷ_i)² – фактических от выровненных значений.

Имеет место равенство S²= Ŝ²+ Š².

Коэффициент детерминации есть отношение объясненной части вариации ко всей вариации в целом

R²= Ŝ² / S² =1 – Š²/S². (9)

Таким образом, чем «ближе» этот коэффициент к единице, тем лучше описание, разумеется, если при этом модель методически правильна.

Пример 1.Исследуем зависимость розничного товарооборота (млрд. руб.) магазинов от среднесписочного числа работников. В табл.1 во втором и третьем столбцах приведены значения соответственно объемов розничного товарооборота(у) и среднесписочного числа работников(х), а в следующих столбцах – значения необходимых расчетных величин.

Таблица 1

номер	у	х	(х –)²	(у – )²	х²	ху	ŷ	ε	ε²
1	3	2	4	5	6	7	8	9	10
1	0,5	73	1600	0,49	5329	36,5	0,43	0,07	0,0049
2	0,7	85	784	0,25	7225	59,5	0,661	0,039	0,0015
3	0,9	102	121	0,09	10404	91,8	0,998	-0,098	0,0096
4	1,1	115	4	0,01	13225	126,5	1,239	-0,139	0,0193
5	1,4	122	81	0,04	14884	170,8	1,373	0,027	0,0007
6	1,4	126	169	0,04	15876	176,4	1,45	-0,05	0,0025
7	1,7	134	441	0,25	17956	227,8	1,604	0,096	0,0092
8	1,9	147	1156	0,49	21609	279,3	1,854	0,046	0,0021
сумма	9,6	904	4356	1,66	106508	1168,6	9,592	0,001	0,0479
средн.	1,2	113	544,5	0,2075	13313,5	146,075	1,199	0,0001	0,0060