1.2. Линейная связь, корреляция.

В самом простом случае предполагается, что f задает уравнение прямой f(x)=₀+₁х. Модель в этом случае имеет вид

у_i=₀+₁х_i+_i (i=1,2,…,n). (1)

Здесь _i являются вертикальными уклонениями точек (x_i,y_i) от аппроксимирующей прямой. Вопрос о нахождении формулы зависимости можно ставить после положительного ответа на вопрос о существования такой зависимости, но эти два вопроса можно решать и одновременно.

Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. Такими показателями являются коэффициент корреляции величин Х и Y, а также коэффициенты линейной регрессии ₀ и ₁, их стандартные ошибки и t-статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин Х и Y.

Угловой коэффициент ₁ прямой линии регрессии Y на X называют коэффициентом регрессии Y на X и обозначают _yx.

Выражение _х² = –()² есть выборочная дисперсия Х (или квадрат выборочного среднего квадратического отклонения).

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством

r_yx =(ху – х у )/(_х_y), (2)

где _y есть выборочное среднее квадратическое отклонение Y.

(Верхняя черта, как это принято в теории вероятностей и математической статистике, означает среднее значение выборочной совокупности, в данном случае ).

Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и X. Он является безразмерной величиной, не зависит от выбора единиц измерения обеих переменных. Для него всегда выполняется 0  r_yx  1, и чем ближе его значение к 1, тем сильнее линейная связь. Коэффициент корреляции будет положительным, если зависимость переменных Х и Y прямо пропорциональная, и отрицательным, – если обратно пропорциональная.

При близости кнулю коэффициента корреляции, например, величин уровней инфляции и безработицы (что имело место фактически в экономике США в 1970-х – 1980-х годах) нужно не говорить сразу о независимости этих показателей, а попытаться построить более сложную (не линейную) модель их связи.

3. Регрессионные модели как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений.

Регрессионная модель экономического объекта (или производственного процесса), отражая основные его свойства и абстрагируясь от второстепенных, позволяет судить о его поведении при определенных значениях объясняющих факторов.

К числу основных факторов относят обычно трудовые ресурсы в той или иной мере, а также энергетические, сырьевые, материальные ресурсы, оборудование, здания, сооружения и т.д. Кроме того, в модели должны быть отражены факторы, определяющие состояние внешней среды (экономические, политические, природные и т.п.).

Несмотря на развитие экономики, на протяжении относительно небольших временных периодов и в пределах отдельных экономических подсистем имеет место стабильность в условиях совершения массовых событий. При прогнозировании экономических процессов подразумевается возможность многократного повторения производственной ситуации, быть может, при других значениях существенных и несущественных факторов, однако при относительно стабильном комплексе внешних условий и сохраняющейся тенденции влияния объясняющих факторов на анализируемый экономический показатель.

Таким образом, при анализе и прогнозировании экономических явлений результирующий показатель у является функцией существенных (х₁,х₂,…,х_m) и несущественных (₁,₂,…,_k) факторов

у=f(х₁,х₂,…,х_m,₁,₂,…,_k) (3)

и вычисляется посредством подстановки в (3) значений объясняющих факторов. В силу относительной малости несущественных факторов (в смысле влияния на результат), ими можно пренебречь, при этом рассматриваемый ниже аппарат позволяет оценить возникшую вследствие данного усечения модели погрешность.

2. Линейная модель множественной регрессии.