4.3. Статистика Дарбина-Уотсона.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки _tсодержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 2.6.). Существует два наиболее распространенных способа определения автокорреляции остатков. Первый метод –построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод –использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

Между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков действует соотношение

d2(1 –r_).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция (r_=1), тоd=0. Если в остатках полная отрицательная корреляция (r_= –1), тоd=4. Если автокорреляция остатков отсутствует (r_=0), тоd=2.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Задается уровень значимости . По таблицам значений критерия Дарбина – Уотсона (приложение 3) определяются для числа наблюденийnи числа независимых переменных (факторов)kкритические значенияd_lиd_u. Получаем пять интервалов для значенияd.

• если 0 dd_l, то имеется положительная автокорреляция остатков;

• если d_ldd_u, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);

• если d_ud4 –d_u, то автокорреляция остатков отсутствует;

• если 4 – d_ud4 –d_l, то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);

• если 4 – d_ld 4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.

Пример 8.Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.14.

Таблица 14

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Расходы, у	7	8	8	10	11	12	14	16
доход, х	10	12	11	12	14	15	17	20

у= –2.05+0,92х+_t.

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
ŷ	7,15	8,99	8,07	8,99	10,83	11,75	13,59	16,35
t	–0,15	–0,99	–0,07	1,01	0,17	0,25	0,41	–0,35
t–t-1	-	–0,84	0,92	1,08	–0,84	0,08	0,16	–0,76
∑(t)2=2,4095	,0225	,9801	,0049	1,020	,0289	,0625	,1681	,1225
∑(t–t-1)2=4,0336	-	,7056	0,846	1,166	,7056	,0064	,0256	,5776

Имеем d =4,0336/2,4095=1,674.

Пусть =0,05, по таблицам (приложение 3) дляn=8 иk=1 (однофакторная модель) находим критические значенияd_l=0,76,d_u=1,33. Так как в нашем случае 1,331,674  4 – 1,39=2,61, то автокорреляция остатков отсутствует.

4. Системы эконометрических уравнений.

Объектом статистического изучения в экономике являются сложные системы. При использовании отдельных уравнений регрессии изменение факторов влечет за собой, как правило, изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений, называемых такжеструктурными уравнениями.В них одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы

y₁=b₁₂y₂ + b₁₃y₃ +…+ b_1ny_n+ a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1mx_m+ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + b₂₃y₃ +…+ b_2ny_n+ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2mx_m+ε₂,

…………………………………………………………………..

y_n=b_n1y₁ + b_n2y₂ +…+ b_nn-1y_n-1+ a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ε_n.

Зависимые переменные (у), число которых равно числу уравнений в системе, называютсяэндогенными переменными,предопределенные переменные (х), влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называютсяэкзогенными переменными.

Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно получать целевые значения эндогенных переменных.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

y₁=b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + a₂₂x₂+ a₂₃x₃+ε₂,

где y₁ – темп изменения месячной заработной платы;

y₂– темп изменения цен;

х₁– процент безработных;

х₂– темп изменения постоянного капитала;

х₃– темп изменения цен на импорт сырья.

В отличие от предыдущих разделов каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются следующие специальные приемы оценивания:

– косвенный метод наименьших квадратов;

– двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Данные методы подробно описаны в литературе [6], первые два являются традиционными, достаточно легко реализуемыми.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации, разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным. В этом методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой последнего.

Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый метод наименьших квадратов, предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается все же ДМНК. Метод получил название двухшагового метода наименьших квадратов, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении формы модели зависимости эндогенных переменных только от экзогенных (так называемая приведенная модель) и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенных переменных, и, затем, на втором шаге, используя эти теоретические значения эндогенных переменных, применительно к исходным уравнениям модели. См. также [4].